Question

19．如圖，以正方形ABCD邊BC為直徑作半圓O，過點(diǎn)D作直線與半圓相切于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，若AB=2cm．求：
（1）AE的長；
（2）陰影部分的面積．

Answer 1

分析 （1）由切線長定理可知：BE=EF、DF=DC=2，設(shè)AE=xcm，則EF=（2-x）cm，故此ED=（4-x）cm，然后在Rt△ADE中依據(jù)勾股定理列方程求解即可；
（2）陰影部分的面積=正方形的面積-△ADE的面積-減去半圓的面積．

解答 解：（1）切線長定理可知：BE=EF、DF=DC=2cm．
設(shè)AE=xcm，則EF=（2-x）cm，ED=（4-x）cm．
在Rt△ADE中，AD²+AE²=ED²，即2²+x²=（4-x）²．
解得：x=1.5．
則AE=1.5cm．
（2）陰影部分的面積=正方形的面積-△ADE的面積-減去半圓的面積
=2×2-$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×2$-$\frac{1}{2}×π×{1}^{2}$
=$\frac{5-π}{2}$cm²．
陰影部分的面積為$\frac{5-π}{2}$cm²．

點(diǎn)評 本題主要考查的是切線的性質(zhì)、切線長定理、勾股定理，依據(jù)切線長定理、勾股定理列出關(guān)于x的方程是解題的關(guān)鍵．