Question

已知：如圖，二次函數(shù)y=a(x+1)²－4的圖象與x軸分別交于A、B兩點，與y軸交于點D，點C是二次函數(shù)y=a(x+1)²－4的圖象的頂點，CD=.

（1）求a的值.

（2）點M在二次函數(shù)y=a(x+1)²－4圖象的對稱軸上，

且∠AMC=∠BDO，求點M的坐標(biāo)．

（3）將二次函數(shù)y=a(x+1)²－4的圖象向下平移k（k＞0）個單位，平移后的圖象與直線CD分別交于E、F兩點（點F在點E左側(cè)），設(shè)平移后的二次函數(shù)的圖象的頂點為C₁，與y軸的交點為D₁，是否存在實數(shù)k，使得CF⊥FC₁，若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）1

（2）M（-1，6）或（-1，-6）

（3）存在k =2

【解析】解：

（1）∵C（-1，-4），CD=，

∴D（0，-3）            ……………………………………….(1分)

∴a=1             

∴

即y = x²+2x - 3                 ……………………………….(2分)

（2）M（-1，6）或（-1，-6）………………………………………….(4分)

（3）存在

由CC₁=DD₁=k，CC₁∥DD₁，

∴四邊形CC₁D₁D為平行四邊形，

∴C₁D₁∥CD，

∴∠D₁ C₁C=∠DCN=45°，

∵CF⊥FC₁，∴∠CC₁F=45°

即△CFC₁為等腰直角三角形，且CC₁=k，

∴F（-k-1，-k-4），         ……………………………….(5分)

由點F在新拋物線y=x²+2x-3- k上，

∴ (-k-1)²+2（-k-1）-3-k =-k-4，   ……………………….(6分)

解得k=2或k=0（舍），

∴k =2．   

當(dāng)k =2時，