Question

如圖，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，矩形PQED的邊PQ在線段BC上，D、E分別在AB、AC上，設(shè)BP為x．
（1）寫出矩形PQED的面積y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）連接PE，當PE∥BA時，求矩形PQED的面積．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）由條件可證明△BPD≌△CQE，可得BP=CQ=x，則PQ=DE=6-2x，過A作AF垂直BC，交BC于點F，則可求得AF=4，BF=3，利用平行可得

DP

AF

=

BP

BF

，可用x表示出PD，則可表示出y和x的關(guān)系式；
（2）當DE∥AB時，可得DE=BP=PQ，即x=6-2x，求得x=2，代入上式可求得矩形PQED的面積．

解答：解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，且DP=QE，∠BPD=∠EQC=90°，
在△BPD和△CQE中，

∠B=∠C ∠BPD=∠EQC DP=QE

，
∴△BPD≌△CQE（AAS），
∴BP=CQ=x，
∴PQ=BC-BP-CQ=6-2x，
如圖，過A作AF⊥BC，交BC于點F，

∵AB=AC=5，BC=6，
∴BF=3，可求得AF=4，
又∵PD∥AF，
∴

PD

AF

=

BP

BF

，即

PD

4

=

x

3

，
∴PD=

4

3

x，
∴y=PD•PQ=

4

3

x•（6-2x）=-

8

3

x²+8x；
（2）當PE∥AB時，且DE∥BP，
∴四邊形BDEP為平行四邊形，
∴DE=BP=x，
又∵DE=PQ=6-2x，
∴x=6-2x，
解得x=2，
∴y=-

8

3

×2²+8×2=

16

3

，
即矩形PQED的面積為

16

3

．

點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和平行四邊形和性質(zhì)．在（1）中利用x表示出PD的長、在（2）中得到DE=BP是解題的關(guān)鍵．