Question

已知關(guān)于x的方程x²+bx+1=0的兩實(shí)根為α、β
（1）能否確定α²+β²與2的大小關(guān)系并說明理由．
（2）若α＞β，且以α²+β²、3α-3β、αβ為三邊的三角形是等腰三角形，求b的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）配方，變?yōu)橥耆�平方的形式比較；（2）結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和代數(shù)式變形來解答．
解答：解：（1）∵關(guān)于x的方程x²+bx+1=0的兩實(shí)根為α、β．
∴α+β=-b，α•β=1．
α²+β²=（α-β）²+2αβ
=（α-β）²+2≥2．
（2）∵關(guān)于x的方程x²+bx+1=0的兩實(shí)根為α、β．
∴α+β=-b，α•β=1．
①因?yàn)棣?sup>2+β²≥2，αβ=1，故α²+β²與αβ不相等；
②若3α-3β=1，
根據(jù)αβ=1，而α²+β²≥2
則（3α-3β）+αβ＜α²+β²
則不能構(gòu)成三角形；
③所以3α-3β=α²+β²．
又∵α²+β²=（α+β）²-2αβ
=（-b）²-2．
所以3α-3β=（-b）²-2．
兩邊平方，得
9（α²+β²-2αβ）=b⁴-4b²+4．
9[（α+β）²-4αβ]=b⁴-4b²+4．
9[（-b）²-4]=b⁴-4b²+4．
解得b⁴-13b²+40=0．
b²=5，或b²=8．
∴b=±5或b=±8．
點(diǎn)評：將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．