Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點C（-3，0），直線y=-

3

x+

3

，與x軸交于點A，與y軸交于點B．
（1）求點A，點B的坐標(biāo)；
（2）若點P從C點出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段CB運動，連接AP，設(shè)△ABP的面積為S，點P的運動時間為t秒，求S與t的函數(shù)式；
（3）在（2）條件下，是否存在點P，使以點A，B，P為頂點的三角形與△AOB相似？若存在，請直接寫出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)函數(shù)自變量為零時，可得函數(shù)圖象與y軸的交點，根據(jù)函數(shù)值為零時，可得函數(shù)圖象與x軸的交點；
（2）根據(jù)勾股定理，可得 AB、BC的長，根據(jù)勾股定理逆定理，可得∠ABC的度數(shù)，根據(jù)線段的和差，可得BP的長，根據(jù)三角形的面積公式，可得答案；
（3）分類討論：△AOB∽△ABP，△AOB∽△PBA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得BP的長，根據(jù)線段的和差，可得BP的長．

解答：解：（1）當(dāng)y=0時，-

3

x+

3

=0解得x=1，即A點坐標(biāo)是（1，0），
當(dāng)x=0時，y=

3

，即B點坐標(biāo)是（0，

3

）；
（2）由勾股定理得，AB=

OB2+OA2

=

( 3 )2+12

=2，
BC=

OB2+OC2

=

( 3 )2+(-3)2

=2

3

．
由勾股定理的逆定理，得
AB²+CB²=2²+（2

3

）²=16，AC²=[1-（-3）]²=16，
AB²+BC²=AC²，
△ABC是直角三角形，∠ABC是直角．
CP=t，當(dāng)P在線段BC上時，BP=BC-CP=2

3

-t，當(dāng)P在線段BC的延長線上時，BP=t-2

3

；
由直角三角形的面積公式，得S=

1

2

BP•AB，即
S=

2 3 -t(0＜t＜2 3) t-2 3 (t＞2 3 )

；
（3）存在點P，使以點A，B，P為頂點的三角形與△AOB相似，
如圖：
，
當(dāng)△AOB∽△ABP時，

AO

AB

=

BO

BP

，解得BP=2

3

，P₁（-3，0），P₃（3，2

3

）；
當(dāng)△AOB∽△PBA時，

AO

BP

=

BO

AB

，解得BP=

2 3

3

，PC=

4

3

3

，由特殊角三角函數(shù)值，得P₂（-1，

2 3

3

），P₄（1，

4 3

3

）．

點評：本題考查了一次函數(shù)的綜合題，利用了函數(shù)值與自變量的關(guān)系，勾股定理及逆定理，相似三角形的性質(zhì)．