Question

6．已知如圖，在梯形ABCD中AB∥CD，對(duì)角線(xiàn)AC、BD交于點(diǎn)O，△ABC為邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，DC=2．
（1）AD的長(zhǎng)為2$\sqrt{7}$；
（2）求OB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）過(guò)A作AE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，過(guò)O作OG⊥AB于G，過(guò)C作CF⊥AB于F，則四邊形AFCE是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到CE=AF，AE=CF，根據(jù)已知條件得到AF=CE=3，CF=3$\sqrt{3}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）由AB∥CD，得到△AOB∽△COD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}$，求得OC=1.5，OA=4.5，通過(guò)△AOG∽△ACF，得到$\frac{OG}{CF}=\frac{AG}{AF}=\frac{AO}{AC}$，求得OG=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，AG=$\frac{9}{4}$，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）過(guò)A作AE⊥CD交CD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E，過(guò)O作OG⊥AB于G，過(guò)C作CF⊥AB于F，
則四邊形AFCE是矩形，
∴CE=AF，AE=CF，
∵△ABC為邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，
∴AF=CE=3，CF=3$\sqrt{3}$，
∴AE=3$\sqrt{3}$，
∵CD=2，
∴DE=1，
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
故答案為：2$\sqrt{7}$．

（2）∵AB∥CD，
∴△AOB∽△COD，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{OA}{OC}$，
∴$\frac{6}{2}=\frac{OA}{OC}$=3，
∵OA+OC=AC=6，
∴OC=1.5，OA=4.5，
∵OG⊥AB，CF⊥AB，
∴OG∥CF，
∴△AOG∽△ACF，
∴$\frac{OG}{CF}=\frac{AG}{AF}=\frac{AO}{AC}$，
即$\frac{OG}{3\sqrt{3}}=\frac{AG}{3}=\frac{4.5}{6}$，
∴OG=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$，AG=$\frac{9}{4}$，
∴BG=$\frac{15}{4}$，
∴BO=$\sqrt{O{G}^{2}+B{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{9\sqrt{3}}{4}）^{2}+（\frac{15}{4}）^{2}}$=6$\sqrt{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，正確的作出輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵．