Question

17．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=-$\frac{3}{4}$x+b分別與x軸、y軸交于點A、B，且點A的坐標為（4，0），四邊形ABCD是正方形．
（1）填空：b=3；
（2）求點D的坐標；
（3）點M是線段AB上的一個動點（點A、B除外），試探索在x上方是否存在另一個點N，使得以O、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若不存在，請說明理由；若存在，請求出點N的坐標．

Answer 1

分析 （1）把（4，0）代入y=-$\frac{3}{4}$x+b即可求得b的值；
（2）過點D作DE⊥x軸于點E，證明△OAB≌△EDA，即可求得AE和DE的長，則D的坐標即可求得；
（3）分當OM=MB=BN=NO時；當OB=BN=NM=MO=3時兩種情況進行討論．

解答 解：（1）把（4，0）代入y=-$\frac{3}{4}$x+b，得：-3+b=0，解得：b=3，
故答案是：3；
（2）如圖1，過點D作DE⊥x軸于點E，
∵正方形ABCD中，∠BAD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
又∵直角△OAB中，∠1+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
在△OAB和△EDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAO=∠DEA}\\{∠1=∠3}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△OAB≌△EDA，
∴AE=OB=3，DE=OA=4，
∴OE=4+3=7，
∴點D的坐標為（7，4）；
（3）存在．
①如圖2，當OM=MB=BN=NM時，四邊形OMBN為菱形．
則MN在OB的中垂線上，則M的縱坐標是$\frac{3}{2}$，
把y=$\frac{3}{2}$代入y=-$\frac{3}{4}$x+4中，得x=2，即M的坐標是（2，$\frac{3}{2}$），
則點N的坐標為（-2，$\frac{3}{2}$）．

②如圖3，當OB=BN=NM=MO=3時，四邊形BOMN為菱形．
∵ON⊥BM，
∴ON的解析式是y=$\frac{4}{3}$x．
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+4}\\{y=\frac{4}{3}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{36}{25}}\\{y=\frac{48}{25}}\end{array}\right.$．
則點N的坐標為（$\frac{72}{25}$，$\frac{96}{25}$）．
綜上所述，滿足條件的點N的坐標為（-2，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{72}{25}$，$\frac{96}{25}$）．

點評 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定，正確進行討論是關鍵．