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【題目】已知,在以O為原點的直角坐標系中,拋物線的頂點為A (﹣1,﹣4),且經過點B(﹣2,﹣3),與x軸分別交于C、D兩點.

(1)求直線OB以及該拋物線相應的函數表達式;

(2)如圖1,點M是拋物線上的一個動點,且在直線OB的下方,過點M作x軸的平行線與直線OB交于點N,求MN的最大值;

(3)如圖2,過點A的直線交x軸于點E,且AEy軸,點P是拋物線上A、D之間的一個動點,直線PC、PD與AE分別交于F、G兩點.當點P運動時,EF+EG是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請說明理由.

【答案】(1)直線OB解析式為y=x,拋物線為y=x2+2x﹣3;(2);(3)點P運動時,EF+EG為定值8.

【解析】

試題分析:(1)由B點坐標利用待定系數法可求直線OB解析式,利用頂點式可求得拋物線解析式;

(2)設M(t,t2+2t﹣3),MN=s,則可表示出N點坐標,由MN的縱坐標相等可得到關于s和t的關系式,再利用二次函數的性質可求得其最大值;

(3)設P(t,t2+2t﹣3),則可表示出PQ、CQ、DQ,再利用相似三角形的性質可用t分別表示出EF和EG的長,則可求得其定值.

試題解析:(1)設直線OB解析式為y=kx,由題意可得﹣3=﹣2k,解得k=,

直線OB解析式為y=x,

拋物線頂點坐標為(﹣1,﹣4),

可設拋物線解析式為y=a(x+1)2﹣4,

拋物線經過B(﹣2,﹣3),

﹣3=a﹣4,解得a=1,

拋物線為y=x2+2x﹣3;

(2)設M(t,t2+2t﹣3),MN=s,則N的橫坐標為t﹣s,縱坐標為

MNx軸,

t2+2t﹣3=,得s==,

當t=時,MN有最大值,最大值為;

(3)EF+EG=8.理由如下:

如圖2,過點P作PQy軸交x軸于Q,

在y=x2+2x﹣3中,令y=0可得0=x2+2x﹣3,解得x=﹣3或x=1,

C(﹣3,0),D(1,0),

設P(t,t2+2t﹣3),則PQ=﹣t2﹣2t+3,CQ=t+3,DQ=1﹣t,

PQEF,

∴△CEF∽△CQP,

EF=PQ=(﹣t2﹣2t+3),

同理EGD∽△QPD得

EG=PQ=,

EF+EG=(﹣t2﹣2t+3)+=2(﹣t2﹣2t+3)()=2(﹣t2﹣2t+3)()=2(﹣t2﹣2t+3)()=8,

當點P運動時,EF+EG為定值8.

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