Question

 二次函數(shù)y=

2

3

x²的圖象如圖所示，點A₀位于坐標(biāo)原點，點A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₁₄在y軸的正半軸上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₁₄在二次函數(shù)y=

2

3

x²位于第一象限的圖象上，若△A₀B₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₁₃B₂₀₁₄A₂₀₁₄都為等邊三角形，則△A₂₀₁₃B₂₀₁₄A₂₀₁₄的邊長=

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征,等邊三角形的性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：設(shè)△A₀B₁A₁的邊長為a，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出點B₁的坐標(biāo)，然后代入二次函數(shù)解析式解方程即可得到a的值，同理求出△A₁B₂A₂的邊長b，△A₂B₃A₃的邊長c，…，不難發(fā)現(xiàn)，等邊三角形的邊長等于它相應(yīng)的序數(shù)，然后寫出即可．

解答：解：設(shè)第一個等邊三角形的邊長為a，
∵△A₀B₁A₁是等邊三角形，
∴點B₁的橫坐標(biāo)為

3

2

a，縱坐標(biāo)為

1

2

a，
∴B₁（

3

2

a，

1

2

a），
∵B₁在二次函數(shù)y=

2

3

x²位于第一象限的圖象上，
∴

2

3

×（

3

2

a）²=

1

2

a，
解得a=1，
∴△A₀B₁A₁的邊長為1，
同理，設(shè)△A₁B₂A₂的邊長為b，
則B₂（

3

2

b，

1

2

b+1），
代入二次函數(shù)解析式得，

2

3

×（

3

2

b）²=

1

2

b+1，
解得b=2，b=-1（舍去），
所以，△A₁B₂A₂的邊長為2，
設(shè)△A₂B₃A₃的邊長c，則B₃（

3

2

c，

1

2

c+1+2），
代入二次函數(shù)解析式得，

2

3

×（

3

2

c）²=

1

2

c+1+2，
解得c=3，c=-2（舍去），
所以，△A₂B₃A₃的邊長為3，
…，
以此類推，等邊三角形的邊長等于它相應(yīng)的序數(shù)，
所以，△A₂₀₁₃B₂₀₁₄A₂₀₁₄的邊長=2014．
故答案為：2014．

點評：本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，等邊三角形的性質(zhì)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出點B系列的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點．