Question

如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C是

AD

的中點(diǎn)，弦CM⊥AB于點(diǎn)F，連接AD，交CF于點(diǎn)P，連接BC，∠DAB=30°．
（1）求∠ABC的度數(shù)；
（2）若CM=8

3

，求

AC

長(zhǎng)度（結(jié)果保留π）．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,垂徑定理,弧長(zhǎng)的計(jì)算

專題：

分析：（1）連接BD，根據(jù)AB為⊙O的直徑，求出∠ADB=90°，得到∠ABD=60°，再根據(jù)C是

AD

的中點(diǎn)，求出∠ABC的度數(shù)；
（2）連接OC，則∠AOC=2∠ABC=60°，求出CO的長(zhǎng)，即可求出

AC

的長(zhǎng)度．

解答：解：（1）如圖，連接BD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∵∠DAB=30°，
∴∠ABD=90°-30°=60°．
∵C是

AD

的中點(diǎn)，
∴∠ABC=∠DBC=

1

2

∠ABD=30°．
（2）如圖，連接OC，則∠AOC=2∠ABC=60°，
∵CM⊥直徑AB于點(diǎn)F，
∴CF=

1

2

CM=4

3

．
∴在Rt△COF中，CO=

2 3

3

CF=

2 3

3

×4

3

=8，
∴

AC

的長(zhǎng)度為

60π×8

180

=

8π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理，作出輔助線，根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半解答．