菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,AC=4,BD=4,動點P在線段BD上從點B向點D運動,PF⊥AB于點F,四邊形PFBG關于BD對稱,四邊形QEDH與四邊形PFBG關于AC對稱.設菱形ABCD被這兩個四邊形蓋住部分的面積為S1,未被蓋住部分的面積為S2,BP=x.
(1)用含x的代數(shù)式分別表示S1,S2;
(2)若S1=S2,求x的值.
解:(1)①當點P在BO上,0<x≤2時,如圖1所示.
∵四邊形ABCD是菱形,AC=4,BD=4,
∴AC⊥BD,BO=BD=2,AO=AC=2,
且S菱形ABCD=BD•AC=8.
∴tan∠ABO==.
∴∠ABO=60°.
在Rt△BFP中,
∵∠BFP=90°,∠FBP=60°,BP=x,
∴sin∠FBP===sin60°=.
∴FP=x.
∴BF=.
∵四邊形PFBG關于BD對稱,
四邊形QEDH與四邊形PEBG關于AC對稱,
∴S△BFP=S△BGP=S△DEQ=S△DHQ.
∴S1=4S△BFP
=4××x•
=.
∴S2=8﹣.
②當點P在OD上,2<x≤4時,如圖2所示.
∵AB=4,BF=,
∴AF=AB﹣BF=4﹣.
在Rt△AFM中,
∵∠AFM=90°,∠FAM=30°,AF=4﹣.
∴tan∠FAM==tan30°=.
∴FM=(4﹣).
∴S△AFM=AF•FM
=(4﹣)•(4﹣)
=(4﹣)2.
∵四邊形PFBG關于BD對稱,
四邊形QEDH與四邊形FPBG關于AC對稱,
∴S△AFM=S△AEM=S△CHN=S△CGN.
∴S2=4S△AFM
=4×(4﹣)2
=(x﹣8)2.
∴S1=8﹣S2=8﹣(x﹣8)2.
綜上所述:
當0<x≤2時,S1=,S2=8﹣;
當2<x≤4時,S1=8﹣(x﹣8)2,S2=(x﹣8)2.
(2)①當點P在BO上時,0<x≤2.
∵S1=S2,S1+S2=8,
∴S1=4.
∴S1==4.
解得:x1=2,x2=﹣2.
∵2>2,﹣2<0,
∴當點P在BO上時,S1=S2的情況不存在.
②當點P在OD上時,2<x≤4.
∵S1=S2,S1+S2=8,
∴S2=4.
∴S2=(x﹣8)2=4.
解得:x1=8+2,x2=8﹣2.
∵8+2>4,2<8﹣2<4,
∴x=8﹣2.
綜上所述:若S1=S2,則x的值為8﹣2.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖所示,在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)x的范圍是( )
A.sin30°<x<sin60°;B.cos30°<x< cos45°;
C.tan30°<x<tan45°;D.3cos60°<x<tan60°。
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A、C、B三點,點A的坐標為(),點B的坐標為(3,0),點C在y軸的正半軸上,且AB=OC.
(1)求點C的坐標;
(2)求這個二次函數(shù)的解析式,并求出該函數(shù)的最大值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
若點P1(﹣1,y1),P2(﹣2,y2),P3(1,y3),都在函數(shù)y=x2﹣2x+3的圖象上,則( )
A.y2<y1<y3 B.y1<y2<y3 C.y2>y1>y3 D.y1>y2>y3
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
如圖,已知AB=AC,∠A=36°,AB的中垂線MN交AC于點D,交AB于點M,有下面3個結論:①BD是∠ABC的角平分線;②△BCD是等腰三角形;③△AMD≌△BCD.
其中正確的結論有__________(只需填寫正確結論的序號).
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