Question

菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC=4，BD=4，動點P在線段BD上從點B向點D運動，PF⊥AB于點F，四邊形PFBG關于BD對稱，四邊形QEDH與四邊形PFBG關于AC對稱．設菱形ABCD被這兩個四邊形蓋住部分的面積為S₁，未被蓋住部分的面積為S₂，BP=x．

（1）用含x的代數(shù)式分別表示S₁，S₂；

（2）若S₁=S₂，求x的值．

Answer 1

 解：（1）①當點P在BO上，0＜x≤2時，如圖1所示．

∵四邊形ABCD是菱形，AC=4，BD=4，

∴AC⊥BD，BO=BD=2，AO=AC=2，

且S_菱形ABCD=BD•AC=8．

∴tan∠ABO==．

∴∠ABO=60°．

在Rt△BFP中，

∵∠BFP=90°，∠FBP=60°，BP=x，

∴sin∠FBP===sin60°=．

∴FP=x．

∴BF=．

∵四邊形PFBG關于BD對稱，

四邊形QEDH與四邊形PEBG關于AC對稱，

∴S_△BFP=S_△BGP=S_△DEQ=S_△DHQ．

∴S₁=4S_△BFP

=4××x•

=．

∴S₂=8﹣．

②當點P在OD上，2＜x≤4時，如圖2所示．

∵AB=4，BF=，

∴AF=AB﹣BF=4﹣．

在Rt△AFM中，

∵∠AFM=90°，∠FAM=30°，AF=4﹣．

∴tan∠FAM==tan30°=．

∴FM=（4﹣）．

∴S_△AFM=AF•FM

=（4﹣）•（4﹣）

=（4﹣）²．

∵四邊形PFBG關于BD對稱，

四邊形QEDH與四邊形FPBG關于AC對稱，

∴S_△AFM=S_△AEM=S_△CHN=S_△CGN．

∴S₂=4S_△AFM

=4×（4﹣）²

=（x﹣8）²．

∴S₁=8﹣S₂=8﹣（x﹣8）²．

綜上所述：

當0＜x≤2時，S₁=，S₂=8﹣；

當2＜x≤4時，S₁=8﹣（x﹣8）²，S₂=（x﹣8）²．

 

（2）①當點P在BO上時，0＜x≤2．

∵S₁=S₂，S₁+S₂=8，

∴S₁=4．

∴S₁==4．

解得：x₁=2，x₂=﹣2．

∵2＞2，﹣2＜0，

∴當點P在BO上時，S₁=S₂的情況不存在．

②當點P在OD上時，2＜x≤4．

∵S₁=S₂，S₁+S₂=8，

∴S₂=4．

∴S₂=（x﹣8）²=4．

解得：x₁=8+2，x₂=8﹣2．

∵8+2＞4，2＜8﹣2＜4，

∴x=8﹣2．

綜上所述：若S₁=S₂，則x的值為8﹣2．