Question

計(jì)算[

2012+ 2012+ 2012+…+ 2012

]的值．其中，2012共出現(xiàn)了2012次，[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：取整計(jì)算,算術(shù)平方根,不等式的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：為了方便起見(jiàn)，設(shè)x_n=

2012+ 2012+ 2012+…+ 2012

，其中2012共出現(xiàn)了n次，n為正整數(shù)．易得44＜x₁＜45，由于x₂=

2012+x1

，根據(jù)不等式的性質(zhì)可推出45＜x₂＜46；用同樣的方法，由45＜x₂＜46可以推出45＜x₃＜46；以此類推，可以得到；當(dāng)n≥2時(shí)，45＜x_n＜46，從而有[x_n]=45，故原式=[x₂₀₁₂]=45．

解答：解：設(shè)x_n=

2012+ 2012+ 2012+…+ 2012

，其中2012共出現(xiàn)了n次，n為正整數(shù)．
當(dāng)n=1時(shí)，x₁=

2012

．
∵44=

1936

＜

2012

＜

2025

=45，
∴44＜x₁＜45．
當(dāng)n=2時(shí)，x₂=

2012+x1

．
∵44＜x₁＜45，
∴45=

2025

＜

2012+44

＜x₂＜

2012+45

＜

2116

=46．
∴45＜x₂＜46．
當(dāng)n=3時(shí)，x₃=

2012+x2

．
∵45＜x₂＜46，
∴45=

2025

＜

2012+45

＜x₃＜

2012+46

＜

2116

=46．
∴45＜x₃＜46．
∴由45＜x₂＜46可以推出45＜x₃＜46．
同理可得：
由45＜x₃＜46可以推出45＜x₄＜46；
由45＜x₄＜46可以推出45＜x₅＜46；
由45＜x₅＜46可以推出45＜x₆＜46；
…
由45＜x_n-1＜46可以推出45＜x_n＜46．（n≥4）
∴當(dāng)n≥2時(shí)，45＜x_n＜46，此時(shí)[x_n]=45．
∴原式=[x₂₀₁₂]=45．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了不等式的性質(zhì)、算術(shù)平方根等知識(shí)，并注重對(duì)類比、歸納等推理能力的考查，而通過(guò)類比、歸納得出“當(dāng)n≥2時(shí)，45＜x_n＜46，則[x_n]=45”是解決本題的關(guān)鍵．