Question

11．在△ABC中，∠ABC=30°，AB=8，AC=2$\sqrt{7}$，邊AB的垂直平分線與直線BC相交于點F，則線段CF的長為$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$或$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，已知兩邊和其中一邊的對角，符合題意的三角形有兩個，畫出△ABC與△ABC′．作AD⊥BC于D，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出C′D=CD．由EF為AB的垂直平分線求出AE和BE長，根據(jù)勾股定理和解直角三角形求出AD、CD、BD、BF，即可求出答案．

解答 解：如圖，作AD⊥BC于D，
∵AC=AC′=2$\sqrt{7}$，AD⊥BC于D，
∴C′D=CD，
∵EF為AB垂直平分線，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=4，EF⊥AB，
∵∠ABC=30°，
∴EF=BE×tan30°=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，BF=2EF=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$，
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠ABD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=4，
由勾股定理得：CD=$\sqrt{（2\sqrt{7}）^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，BD=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
即F在C和D之間，
∵BC=BD-CD=4$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
∴CF=BF-BC=$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$-2$\sqrt{3}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$，C′F=BC′-BF=4$\sqrt{3}$+2$\sqrt{3}$-$\frac{8}{3}$$\sqrt{3}$=$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$，
故答案為：$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$或$\frac{10}{3}$$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了含30度角的直角三角形，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理的應用，根據(jù)題意畫出圖形進行分類討論是解題的關鍵．