Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，K點坐標為（0，1），在拋物線y=x²-2x-3中，D是頂點，是否存在點L，使△AKL和△LCD面積相等？若有，求出點L坐標．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計算題

分析：KA和DC的延長線相交于P，作PE⊥y軸于E，交拋物線于L和L′，作DH⊥y軸于H，先根據(jù)拋物線與x軸的交點問題確定A點坐標為（-1，0），易得△OKA為等腰直角三角形，則∠AKO=45°，利用配方得y=x²-2x-3=（x-1）²-4，得到D點坐標為（1，-4），則DH=1，CH=1，所以△CDH為等腰直角三角形，得到∠HCD=45°，根據(jù)對頂角相等得∠PCO=45°，于是可判斷△PKC為等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得PE平分∠KPC，KE=CE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得點L（或L′）到AK和CD的距離相等，所以△AKL和△LCD面積相等；然后確定直線PE為y=-1，再求直線y=-1與拋物線y=x²-2x-3的交點坐標即可．

解答：解：存在．
KA和DC的延長線相交于P，作PE⊥y軸于E，交拋物線于L和L′，作DH⊥y軸于H，如圖，
把y=0代入y=x²-2x-3得x²-2x-3=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴A點坐標為（-1，0），
∵K（0，1），
∴△OKA為等腰直角三角形，
∴∠AKO=45°，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴D點坐標為（1，-4），
而C（0，-3），
∴DH=1，CH=1，
∴△CDH為等腰直角三角形，
∴∠HCD=45°，
∴∠PCO=45°，
∴△PKC為等腰直角三角形，
∴PE平分∠KPC，KE=CE，
∴點L（或L′）到AK和CD的距離相等，
∵KC=4，
∴直線PE為y=-1，
把y=-1代入y=x²-2x-3得x²-2x-3=-1，解得x₁=1-

3

，x₂=1+

3

，
∴點L坐標為（1-

3

，-1）和（1+

3

，-1）．

點評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的頂點坐標是（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對稱軸直線x=-

b

2a

，二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：當(dāng)a＞0時，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向上，x＜-

b

2a

時，y隨x的增大而減��；x＞-

b

2a

時，y隨x的增大而增大；x=-

b

2a

時，y取得最小值

4ac-b2

4a

，對稱即頂點是拋物線的最低點；當(dāng)a＜0時，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的開口向下，x＜-

b

2a

時，y隨x的增大而增大；x＞-

b

2a

時，y隨x的增大而減��；x=-

b

2a

時，y取得最大值

4ac-b2

4a

，即頂點是拋物線的最高點．也考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．