Question

15．如圖，已知正△ABC的邊長為9，⊙O是它的內(nèi)切圓，則圖中陰影部分的面積為$\frac{27\sqrt{3}-9π}{4}$．（結(jié)果保留π）

Answer 1

分析 要求陰影部分的面積就要明確S_陰影=$\frac{1}{3}$S_△ABC-$\frac{1}{3}$S_⊙O，然后依面積公式計(jì)算即可．

解答 解：∵△ABC是正三角形，⊙O是它的內(nèi)切圓，
∴△AOB的面積是正△ABC的$\frac{1}{3}$，扇形的面積是圓面積的$\frac{1}{3}$，
陰影部分的面積=$\frac{1}{3}$S_△ABC-$\frac{1}{3}$S_⊙O，
∵正△ABC的邊長為9，
則正三角形的高為$\sqrt{{9}^{2}-4．{5}^{2}}$=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$，
⊙O的半徑=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴S_陰影=$\frac{1}{3}$S_△ABC-$\frac{1}{3}$S_⊙O=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{2}$×9×$\frac{9\sqrt{3}}{2}$-$\frac{27}{4}$π）=$\frac{27\sqrt{3}-9π}{4}$；
故答案為：$\frac{27\sqrt{3}-9π}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了內(nèi)切圓的性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積公式及圓的面積公式；根據(jù)題意得出陰影部分的面積=$\frac{1}{3}$S_△ABC-$\frac{1}{3}$S_⊙O是解決問題的關(guān)鍵．