Question

【題目】已知拋物線的頂點坐標為M（1，4），且經過點N（2，3），與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C、設直線CM與x軸交于點D．

（1）求拋物線的解析式．

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使以點P為圓心的圓經過A、B兩點，且與直線CD相切？若存在，求出P的坐標；若不存在．請說明理由．

（3）設直線y＝kx+2與拋物線交于Q、R兩點，若原點O在以QR為直徑的圓外，請直接寫出k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）滿足題意的點P存在，其坐標為（1，﹣4+2）；（3） ＜k＜．

【解析】

(1)根據待定系數法即可解答.

(2) 假設在x軸上方存在這樣的P點，使以P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，設P（1，u）其中u＞0，得到PA2＝u2+22,再利用已知條件即可解答.

(3) 設P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點為w,得出解析式進而求線段長度，即可解答.

（1）解：由拋物線的頂點是M（1，4），

設解析式為y＝a（x﹣1）2+4（a＜0），

又∵拋物線經過點N（2，3），

∴3＝a（2﹣1）2+4，解得a＝﹣1．

故所求拋物線的解析式為y＝﹣（x﹣1）2+4，

即y＝﹣x2+2x+3；

（2）解：如圖：

假設在x軸上方存在這樣的P點，使以P為圓心的圓經過A、B兩點，并且與直線CD相切，設P（1，u）其中u＞0，

則PA是圓的半徑且PA2＝u2+22，

過P做直線CD的垂線，垂足為Q，則PQ＝PA時以P為圓心的圓與直線CD相切．

由題易得：△MDE為等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，

由P（1，u）得PE＝u，PM＝|4﹣u|，PQ＝PM．

由PQ2＝PA2得方程：

（4﹣u）2＝u2+22，

解得u＝﹣4+2，u＝﹣4﹣2（不符合題意，舍）．

所以，滿足題意的點P存在，其坐標為（1，﹣4+2）．

（3）如圖，設P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ的中點為w．

由，消去y得到：x2+（k﹣2）x﹣1＝0，

∴x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣1，

∴y1+y2＝k（x1+x2）+4＝﹣k2+2k+4，y1y2＝k2（x1x2）+2k（x1+x2）+4＝﹣3k2+4k+4，

∴W（，），

PQ＝

＝

∵原點O在以QR為直徑的圓外，

∴2OW＞PQ，

∴2＞

整理得：3k2﹣4k﹣3＜0，

解得＜k＜．