Question

如圖，AD⊥CD，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°．求：
（1）∠ABC的度數(shù)；
（2）AD、CD的長．

Answer 1

考點：含30度角的直角三角形,矩形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：此題可以過點B作兩邊的垂線，可得兩個30°的直角三角形和一個矩形．
（1）根據(jù)周角是360°和直角三角形的性質(zhì)求解；
（2）根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)就可求解．

解答：解：如圖所示，過B點分別作BE⊥AD于E，BF⊥CD于F．
由AD⊥CD知四邊形BEDF為矩形．
則ED=BF，F(xiàn)D=BE．
（1）在Rt△AEB中，∠A=30°，∠AEB=90°，
∴∠ABE=60°．
同理，∠CBF=60°，
∴∠ABC=360°-60°-60°-90°=150°；

（2）在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠A=30°，AB=10．
∴BE=

1

2

AB=5，AE=

3

BE=5

3

．
在Rt△CFB中，
∠CFB=90°，∠C=30°，BC=20，
∴BF=

1

2

BC=10，CF=

3

BF=10

3

．
∴AD=AE+ED=5

3

+10，
∴CD=CF+FD=10

3

+5．

點評：本題考查了含30度角的直角三角形和矩形的性質(zhì)．能夠通過作垂線，發(fā)現(xiàn)直角三角形和矩形是解題的難點．