Question

 閱讀下面材料：

問(wèn)題：如圖①，在△ABC中， D是BC邊上的一點(diǎn)，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的長(zhǎng)．

小明同學(xué)的解題思路是：利用軸對(duì)稱，把△ADC進(jìn)行翻折，再經(jīng)過(guò)推理、計(jì)算使問(wèn)題得到解決．

（1）請(qǐng)你回答：圖中BD的長(zhǎng)為    ；

（2）參考小明的思路，探究并解答問(wèn)題：如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的長(zhǎng)．

                                                                                   

圖①                                    圖②

Answer 1

 解：（1）. ……………………………………………………………………1分

（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，連接DE，

∴△ADC≌△AEC.

∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA， DC＝EC.

∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，

∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.

∴△CDE為等邊三角形. ……………………2分

∴DC＝DE.

在AE上截取AF＝AB，連接DF，

∴△ABD≌△AFD.

∴BD＝DF.

在△ABD中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°，

∴∠ADE=∠AED =75°，∠ABD =105°.

∴∠AFD =105°.

∴∠DFE=75°.

∴∠DFE=∠DEF.

∴DF＝DE.  

∴BD＝DC＝2. …………………………………………………………………3分

作BG⊥AD于點(diǎn)G，

∴在Rt△BDG中， .  ……………………………………………4分

∴在Rt△ABG中，.  ……………………………………………5分