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(2003•黃岡)已知經過A、B、C三點的二次函數圖象如圖所示.
(1)求二次函數的解析式及拋物線頂點M的坐標;
(2)若點N為線段BM上的一點,過點N作x軸的垂線,垂足為點Q.當點N在線段BM上運動時(點N不與點B、點M重合),設NQ的長為t,四邊形NQAC的面積為s,求s與t之間的函數關系式及自變量t取值范圍;
(3)將△OAC補成矩形,使△OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點,第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上,求出矩形未知頂點的坐標.

【答案】分析:(1)根據圖象可以知道A,B,C三點的坐標已知,根據待定系數法就可以求出函數的解析式.進而求出頂點M的坐標.
(2)根據待定系數法可以求出直線MB的解析式,設NQ的長為t,即N點的縱坐標是t,把x=t代入解析式就可以求出橫坐標,四邊形NQAC的面積s=S△AOC+S梯形OQNC,可以用t分別表示出△AOC和梯形OQNC的面積,因而就得到s與t之間的函數關系式.
(3)可以補成的矩形有兩種情況,即圖1,的情況,易得未知頂點坐標是點D(-1,2);
以點A、點C為矩形的兩個頂點,第三個頂點時,落在矩形這一邊AC的對邊上,如下圖2,易證Rt△HOC∽Rt△COA,根據相似三角形的對應邊的比相等,就可以求出OH的長,根據直線平行的關系利用待定系數法就可以求出直線AF與直線AC的解析式,兩函數的交點,就是滿足條件的點.
解答:解:(1)設這個二次函數的解析式為
y=a(x+1)(x-2),(1分)
把點C(0,2)坐標代入其中,求得a=-1,
y=-(x+1)(x-2)=-x2+x+2=-(x-2+
∴這個二次函數的解析式為:
y=-x2+x+2(3分)
頂點M的坐標為M(,);(4分)
[也可設為一般式y(tǒng)=ax2+bx+c,把A、B、C三點坐標代入解出]

(2)設線段BM所在直線的解析式為:y=kx+b,(5分)
分別把B(2,0)、M(,)坐標代入其中,
解得k=-,b=3,
∴y=-x+3.
若N的坐標為(x,t),則得t=-x+3,
解得x=2-t,(6分)
由圖形可知:s=S△AOC+S梯形OQNC(7分)
=×1×2+(2+t)(2-t)
化簡整理得s=-t2+t+3,(8分)
其中0<t<;(9分)

(3)以點O、點A(或點O、點C)為矩形的兩個頂點,
第三個頂點落在矩形這一邊OA(或邊OC)的對邊上,
如下圖1,此時易得未知頂點坐標是點D(-1,2);(10分)
以點A、點C為矩形的兩個頂點,第三個頂點(即點O)
落在矩形這一邊AC的對邊上,如下圖2,此時
未知頂點分別為點E、點F.(11分)
它們的坐標求解如下:
∵ACEF為矩形,
∴∠ACE為直角,延長CE交x軸于點H,
則易得Rt△HOC∽Rt△COA,
,求得OH=4,
∴點H的坐標H(4,0).可求得線段CH所在直線的
解析式為:y=-x+2;(12分)
線段AC所在直線的
解析式為:y=2x+2,線段EF所在直線過原點且與
線段AC所在直線平行,從而可得線段EF所在直線的
解析式為:y=2x;(13分)
線段AF所在直線與直線CH平行,
設直線AF的解析式為:y=-x+m,
把A(-1,0)坐標代入,求得m=-,
∴直線AF為:y=-x-
∵點E是直線CH與直線EF的交點;
點F是直線AF與直線EF的交點,
∴得下面兩個方程組:

解得E(,),F(-,-).(14分)
∴矩形的未知頂點為(-1,2)或(,)、(-,-).

點評:本題主要考查了待定系數法求函數的解析式,以及直線平行時解析式之間的關系.
練習冊系列答案
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