Question

18．如圖（1），點(diǎn)O是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．
（1）求證：△DOA是等邊三角形；
（2）如圖（2），當(dāng)∠AOB=150°時，判斷△COD的形狀，并說明理由；
（3）如圖（3），當(dāng)∠AOB=110°時，探究：當(dāng)∠COB為多少度時，△COD是等腰三角形．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AO=AD，∠OAD=60°，則根據(jù)等邊三角形的判定方法可判斷△DOA為等邊三角形；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ADC=∠AOB=150°，再由△DOA為等邊三角形得到∠ADO=60°，則可計算出∠ODC=∠ADC-∠ADO=90°，于是可判斷△COD為直角三角形；
（3）由△DOA為等邊三角形得到∠AOD=60°，而∠ODC=∠ADC-∠ADO=50°，然后分類討論：當(dāng)OD=OC時，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠OCD=∠ODC=50°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和可計算出∠DOC=80°，然后利用周角定義可計算出∠BOC=110°；當(dāng)CO=CD時，則∠DOC=∠OCD=50°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和可計算出∠BOC=140°；當(dāng)DO=DC時，∠DOC=∠DCO，根據(jù)三角形內(nèi)角和得到∠DOC=65°，則根據(jù)三角形內(nèi)角和可計算出∠BOC=125°．

解答 （1）證明：∵△AOB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴AO=AD，∠OAD=60°，
∴△DOA為等邊三角形；
（2）解：△COD為直角三角形．理由如下：
∵△AOB繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，
∴∠ADC=∠AOB=150°，
∵△DOA為等邊三角形，
∴∠ADO=60°，
∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=150°-60°=90°，
∴△COD為直角三角形；
（3）解：∵△DOA為等邊三角形，
∴∠AOD=60°，
∵∠ADC=∠AOB=110°，∠ADO=60°，
∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=110°-60°=50°，
當(dāng)OD=OC時，∠OCD=∠ODC=50°，則∠DOC=180°-50°-50°=80°，所以∠BOC=360°-∠AOB-∠AOD-∠DOC=360°-110°-60°-80°=110°；
當(dāng)CO=CD時，∠DOC=∠OCD=50°，所以∠BOC=360°-∠AOB-∠AOD-∠DOC=360°-110°-60°-50°=140°；
當(dāng)DO=DC時，∠DOC=∠DCO，則∠DOC=$\frac{1}{2}$（180°-50°）=65°，所以∠BOC=360°-∠AOB-∠AOD-∠DOC=360°-110°-60°-65°=125°；
綜上所述，當(dāng)∠COB為110°或125°或140°時，△COD是等腰三角形．

點(diǎn)評 本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．