Question

10．某商品進價40元，售價若定為每件50元，每月可賣出300件，市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每月少賣出10件；若每降價1元，每月多賣出20件，物價部門規(guī)定：該商品利潤率不得高于40%，同時商家要求不虧本．設商品調價后的售價為x元（x為正整數(shù)），每月銷量為y件．
（1）寫出y與x間的函數(shù)關系式并寫出自變量的取值范圍；
（2）寫出每月利潤W與售價x的函數(shù)關系式；
（3）如何定價才能獲得最大利潤？最大利潤是多少？并直接寫出W隨x增大而增大的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)銷量=售價為50元每件時銷量-因價格上漲而減少的銷量、銷量=售價為50元每件時銷量+因價格下降而增加的銷量，可列出函數(shù)關系式；
（2）根據(jù)總利潤=單件利潤×銷量，分情況列出函數(shù)關系式即可；
（3）由（2）中的兩種情況分別將函數(shù)關系式配方，結合其取值范圍確定最大利潤即W隨x增大而增大的x的取值范圍．

解答 解：（1）當x＞50時，y=300-10（x-50）=-10x+800，
當40≤x≤50時，y=300+20（50-x）=-20x+1300；
（2）當x＞50時，W=（x-40）（-10x+800）=-10x²+1200x-32000，
當40≤x≤50時，W=（x-40）（-20x+1300）=-20x²+2100x-52000；
（3）①當x＞50時，W=-10x²+1200x-32000=-10（x-60）²+4000，
∵-10＜0，
∴當50＜x≤60時，W隨x的增大而增大，
且當x=60時，W取得最大值，最大利潤為4000元；
②當40≤x≤50時，W=-20x²+2100x-52000=-20（x-52.5）²+3125，
∵-20＜0，且對稱軸x=52.5＞50，
∴當40≤x≤50時，W隨x的增大而增大，
且當x=50時，W取得最大值，最大利潤為3000．
綜上，當定價為60元時才能獲得最大利潤，最大利潤為4000元，當40≤x≤60時，W隨x增大而增大．

點評 本題主要考查二次函數(shù)的實際應用，根據(jù)題意分類討論是前提，結合相等關系列出函數(shù)關系式并討論最值情況是關鍵．