(2012•松北區(qū)三模)已知:如圖Rt△ABC中,∠C=90°,CD是∠ACB的平分線,點(diǎn)M在線段AC上,點(diǎn)N在線段CD上.∠MND=∠ADN,NE∥BC,交BD于點(diǎn)E.
(1)(如圖1)當(dāng)點(diǎn)M和點(diǎn)A重合時(shí),求證:AN=BE;
(2)(如圖2)當(dāng)MN:AD=2:3時(shí),MC=NE,AM=2,延長MN交BC于點(diǎn)F,將線段BF以F為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn),點(diǎn)B落在點(diǎn)P處,求出P點(diǎn)到BC的距離.
分析:(1)圖1,作NH∥AB交BC于點(diǎn)H,由條件就可以得出四邊形BHNE是平行四邊形,再證明△ACN≌△HCN就可以得出結(jié)論;
(2)圖2,作NH∥AB交BC于H,作MG∥AB交CD于G,作PQ⊥BC于Q,連接PM.可以得出四邊形BHNE是平行四邊形,就有HN=BE,再根據(jù)平行線的性質(zhì)可以得出△CMG∽△CAD,由其性質(zhì)可以得出CM的值,根據(jù)△MCN≌△END就有CN=DN,由中位線的性質(zhì)可以得出BC的值,進(jìn)一步證明△ABC∽△FMC就可以得出CF的值從而求出NF=PF,進(jìn)而得出AP=AM,最后由平行線的性質(zhì)就可以得出結(jié)論.
解答:解:(1)作NH∥AB交BC于點(diǎn)H,
∵NE∥BC,
∴四邊形BHNE是平行四邊形,
∴BE=NH.
∵NH∥AB,
∴∠DNH=∠ADN.
∵∠MND=∠ADN,
∴∠DNH=∠ADN.
∵∠DNH+∠HNC=180°,
∠ADN+∠ANC=180°,
∴∠HNC=∠ANC.
∵CD是∠ACB的平分線,
∴∠HCN=∠ACN.
在△HNC和△ANC中,
∠HCN=∠ACN
CN=CN
∠HNC=∠ANC
,
∴△HNC≌△ANC(ASA),
∴HN=AN,
∴AN=BE;

(2)作NH∥AB交BC于H,作MG∥AB交CD于G,作PQ⊥BC于Q,連接PM.
∵EN∥BC,NH∥AB,
∴四邊形BHNE是平行四邊形,
∴HN=BE,
∵M(jìn)G∥AB,
∴△CMG∽△CAD,∠MGN=∠ADN,
MG
AD
=
CM
AC

∵∠MND=∠ADN,
∴∠MGN=∠MNG,
∴GM=NM.
∵M(jìn)N:AD=2:3,
∴GM:AD=2:3.
∵AM=2,
∴AC=2+CM,
2
3
=
CM
2+CM
,
∴CM=4.
∴AC=6.
∵EN∥BC,
∴∠END=∠BCD,∠DEN=∠B
∵∠MND=∠ADN,
∴∠MNC=∠EDN.
∵CD是∠ACB的平分線,
∴∠ACD=∠BCD.
∴∠ACD=∠END.
在△MCN和△END中,
∠ACD=∠END
∠MNC=∠EDN
MC=EN
,
∴△MCN≌△END(AAS)
∴CN=ND,∠CMN=∠NED.
∴N是CD的中點(diǎn),∠CMN=∠B
∴BC=2EN.
∵M(jìn)C=EN=4,
∴BC=8.
在△ABC和△FMC中,
∠CMN=∠B
∠ACB=∠ACB
,
∴△ABC∽△FMC,
AC
BC
=
FC
MC
,
6
8
=
FC
4
,
∴FC=3.
∴BF=PF=5.
∴∠B=∠BPF,
∴∠BPF=∠FMC.
在Rt△MFC和Rt△ABC中,由勾股定理,得
MF=5.AB=10,
∴PF=MF,
∴∠FPM=∠FMP.
∴∠APM=∠AMP,
∴AP=AM=2.
∵PQ⊥BC,
∴∠PQB=90°,
∴∠ACB=90°,
∴∠PQB=∠ACB,
∴PQ∥AC,
PQ
AC
=
PB
AB
,
PQ
6
=
8
10
,
∴PQ=4.8.
答:P點(diǎn)到BC的距離為4.8.
點(diǎn)評(píng):本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用,相似三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用,勾股定理的運(yùn)用,平行四邊形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用及三角形中位線的性質(zhì)的運(yùn)用,解答時(shí)正確作出輔助線是關(guān)鍵.
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5
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5
3
5
3

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