Question

7．如圖，已知E是正方形ABCD的邊AB上一點，點A關(guān)于DE的對稱點為F，∠BFC=90°，求$\frac{AB}{AE}$的值．

Answer 1

分析 延長EF交CB于M，連接CM，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AD=DC，∠A=∠BCD=90°，由折疊的性質(zhì)得到∠DFE=∠DFM=90°，通過Rt△DFM≌Rt△DCM，于是得到MF=MC．由等腰三角形的性質(zhì)得到∠MFC=∠MCF由余角的性質(zhì)得到∠MFC=∠MBF，于是求得MF=MB，設(shè)MF=MB=MC=a，AE=EF=x，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：如圖，

延長EF交CB于M，連接CM，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠A=∠BCD=90°，
∵將△ADE沿直線DE對折得到△DEF，
∴∠DFE=∠DFM=90°，
在Rt△DFM與Rt△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=DC}\\{DM=DM}\end{array}\right.$，
∴Rt△DFM≌Rt△DCM，
∴MF=MC，
∴∠MFC=∠MCF，
∵∠MFC+∠BFM=90°，∠MCF+∠FBM=90°，
∴∠MFB=∠MBF，
∴MB=MC，
設(shè)MF=MC=BM=a，AE=EF=x，
∵BE²+BM²=EM²，
即（2a-x）²+a²=（x+a）²，
解得：x=$\frac{2}{3}$a，
∴AE=$\frac{2}{3}$a，
∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{2a}{\frac{2}{3}a}$=3．

點評 本題考查了翻折變換-折疊問題，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．