Question

如圖，矩形EFGD的邊EF在△ABC的BC邊上，頂點D、G分別在邊AB、AC上、已知AB=AC=5，BC=6，設(shè)BE=x，S_矩形EFGD=y．
（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）連接EG，當(dāng)△GEC為等腰三角形時，求y的值．

Answer 1

解：（1）過A作AM⊥BC于M；
Rt△AMC中，
∵AB=AC，AM⊥BC，
∴CM=BC=3，AC=5；
由勾股定理，得AM==4；
∵AB=AC，
∴∠B=∠C；
∵四邊形DEFG是矩形，
∴∠DEB=∠GFC=90°，DE=FG；
∴△DEB≌△GFC；
∴BE=FC=x；
易知GF∥AM，則△CFG∽△CMA；
∴，即GF=CF•AM÷CM=x；
∴y=（6-2x）×x=-x²+8x；（0＜x＜3）

（2）Rt△EFG中，F(xiàn)G=x，EF=6-2x，則EG²=x²+（6-2x）²=x²-24x+36；
Rt△CGF中，易知CG=x，即CG²=x²；
EC=6-x，則EC²=（6-x）²=36-12x+x²；
①當(dāng)EG=CG時，EF=FC，即6-2x=x，x=2；此時y=（6-2x）×x=；
②當(dāng)EG=CE時，EG²=CE²，即x²-24x+36=36-12x+x²，解得x=0（舍去），x=；
此時y=（6-2x）×x=；
③當(dāng)CG=CE時，CG²=CE²，即x²=36-12x+x²，解得x=，x=-9（舍去）；
此時y=（6-2x）×x=．
故當(dāng)△CEG是等腰三角形時，y的值為：或或．
分析：（1）易證得△BDE≌△CGF，則BE=FC=x，那么EF=6-2x；可過A作BC的垂線，設(shè)垂足為M，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，可求得BM、CM的長，進而由勾股定理求得AM的長；易知△CGF∽△CAM，通過相似三角形的成比例線段即可求得GF的表達式，根據(jù)矩形的面積即可得到y(tǒng)、x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）Rt△EFG中，由勾股定理可求出EG的表達式；同理可在Rt△CFG中得到CG的表達式；
由于△GEC的腰和底不確定，所以要分三種情況討論：
①CE=CG，②EG=EC，③CG=GE；
根據(jù)上述三種情況得出的三個不同的關(guān)于x的方程，即可求得x的值，再將其代入（1）的函數(shù)關(guān)系式中，即可求得y的值．（需注意x的值應(yīng)符合（1）的自變量的取值范圍）
點評：此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用能力，還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想．