Question

15．已知等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D點(diǎn)，在線段AD上任取一點(diǎn)P（A點(diǎn)除外），過(guò)P點(diǎn)作EF∥AB，分別交AC，BC于E，F(xiàn)點(diǎn)，作PM∥AC，交AB于M點(diǎn)，連接ME．
（1）四邊形AEPM是菱形嗎？說(shuō)明理由；
（2）若AD=15，AP為多少時(shí)，菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半？

Answer 1

分析 （1）有一組鄰邊相等的平行四邊形為菱形，證出四邊形AEPM為平行四邊形，關(guān)鍵是找一組鄰邊相等，由AD平分∠BAC，再由PE∥AM可證∠EAP=∠EPA，得出AE=EP，即可得出結(jié)論；
（2）S_菱形AEPM=EP•h，S_{平行四邊形EFBM}=EF•h，若菱形AEPM的面積為四邊形EFBM面積的一半，則EP=$\frac{1}{2}$EF，所以P為EF中點(diǎn)時(shí)，S_菱形AEPM=$\frac{1}{2}$S_{四邊形EFBM}．得出AO=PO=PD，即可得出結(jié)果．

解答 （1）解：四邊形AEPM是菱形，理由如下：
∵EF∥AB，PM∥AC，
∴四邊形AEPM為平行四邊形．
∵AB=AC，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠BAD=∠EPA，
∴∠CAD=∠EPA，
∴EA=EP，
∴四邊形AEPM為菱形．
（2）解：AP=10時(shí)，S_菱形AEPM=$\frac{1}{2}$S_{四邊形EFBM}
∵四邊形AEPM為菱形，
∴AD⊥EM，AO=PO，
∵AD⊥BC，
∴EM∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四邊形EFBM為平行四邊形．
作EN⊥AB于N，如圖所示：
則S_菱形AEPM=EP•EN=$\frac{1}{2}$EF•EN=$\frac{1}{2}$S_{四邊形EFBM}．
則EP=$\frac{1}{2}$EF=FP，
∵EM∥BC，
∴PO=PD，
∴AO=PO=PD，
∴AP=$\frac{2}{3}$AP=10．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、四邊形面積的計(jì)算；熟練掌握平行四邊形的判定方法，證明四邊形AEPM為菱形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．