Question

20．如果兩個(gè)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)都相同，那么稱(chēng)這兩個(gè)二次函數(shù)互為“同簇二次函數(shù)”，顯然“同簇二次函數(shù)”不是唯一的．
（1）已知二次函數(shù)y=3x²-6x+1．
①寫(xiě)出它的開(kāi)口方向，頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②請(qǐng)寫(xiě)出它的兩個(gè)不同的“同簇二次函數(shù)”．
（2）已知兩個(gè)二次函數(shù)y₁=a₁（x-k₁）²+h₁，y₂=a₂（x-k₂）²+h_²是“同簇二次函數(shù)”，則a₁a₂＞0，k₁=k₂，h₁=h₂（均填“＞”、“=“、或“＜”號(hào)）
①如果y₃=y₁+y₂也是y₁的“同簇二次函數(shù)”，求證：y₃的頂點(diǎn)在x軸上；
②如果直線(xiàn)y=t，與y₁、y₂順次交于點(diǎn)A、B、C、D，且AB=BC=CD，求$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$的值．

Answer 1

分析 （1）①由a＞0，可判斷出拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向，然后利用配方法可求得拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②由“同簇二次函數(shù)”的定義寫(xiě)出兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2），a≠3的二次函數(shù)即可；
（2）由同簇二次函數(shù)可知a₁＞0，a₂＞0，k₁=k₂，h₁=h₂；
①列出關(guān)于y₃的函數(shù)關(guān)系式，然后依據(jù)“同簇二次函數(shù)”的定義可求得h₁=0，從而可求得y₃的頂點(diǎn)在x軸上；
②分別求得y₁=a₁（x-k₁）²+h₁與y=t、y₂=a₂（x-k₁）²+h₁與y=t的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，最后依據(jù)AD=3BC可求得$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$的值．

解答 解：（1）①∵a=3＞0，
∴拋物線(xiàn)的開(kāi)口向上．
∵y=3x²-6x+1=3（x-1）²-2，
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-2）．
②由“同簇二次函數(shù)”的定義可知y₁=2（x-1）²-2，y₂=（x-1）²-2均是y=3x²-6x+1的同簇二次函數(shù)．
（2）∵由同簇二次函數(shù)可知a₁＞0，a₂＞0，k₁=k₂，h₁=h₂，
∴a₁a₂＞0，k₁=k₂，h₁=h₂．
故答案為：＞，=，=．
①∵y₃=y₁+y₂，
∴y₃=a₁（x-k₁）²+h₁+a₂（x-k₂）²+h₂．
∵k₁=k₂，h₁=h₂，
∴y₃=（a₁+a₂）（x-k₁）²+2h₁．
∵y₃與y₁互為同簇二次函數(shù)．
∴2h₁=h₁．
解得h₁=0．
∴y₃=（a₁+a₂）（x-k₁）²．
∴y₃的頂點(diǎn)在x軸上．
②將y₁=a₁（x-k₁）²+h₁與y=t聯(lián)立解得：x=k₁±$\sqrt{\frac{t{-h}_{1}}{{a}_{1}}}$．
將y₂=a₂（x-k₁）²+h₁與y=t聯(lián)立解得：x=k₁±$\sqrt{\frac{t-{h}_{1}}{{a}_{2}}}$．
∵AB=BC=CD，
∴AD=3BC．
∴2$\sqrt{\frac{t{-h}_{1}}{{a}_{1}}}$=6$\sqrt{\frac{t-{h}_{1}}{{a}_{2}}}$．
解得：$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=9．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了配方法求二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程組的關(guān)系、理解同簇二次函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．