Question

1．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2$\sqrt{3}$，點P為六邊形內(nèi)任一點．則點P到各邊距離之和是多少？

Answer 1

分析 過P作AB的垂線，交AB、DE分別為H、K，連接BD，由正六邊形的性質(zhì)可求出BD的長，而點P到AF與CD的距離之和，P到EF、BC的距離之和均為BD的長，據(jù)此得出結(jié)論．

解答 解：過P作AB的垂線，分別交AB、DE于H、K，連接BD，作CG⊥BD于G
∵六邊形ABCDEF是正六邊形
∴AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF，且P到AF與CD的距離之和，及P到EF、BC的距離之和均為HK的長，
∵BC=CD，∠BCD=∠ABC=∠CDE=120°，
∴∠CBD=∠BDC=30°，
∴BD∥HK，且BD=HK，
∵CG⊥BD，
∴BD=2BG=2×BC×cos∠CBD=2×2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6，
∴點P到各邊距離之和=3BD=3×6=18．

點評 本題主要考查的是正多邊形及銳角三角函數(shù)的定義、特殊角的三角函數(shù)值，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合思想求解是解答此題的關(guān)鍵．