Question

11．有一條長40m的籬笆，現(xiàn)借用一堵墻（筆直的、充分長）將籬笆圍成一個四邊形雞場．
（1）張大爺將雞場圍成一個長方形（如圖），請你幫他計(jì)算一下，當(dāng)長方形的長和寬分別為多少時，圍成雞場的面積最大？最大面積是多少？
（2）請你設(shè)計(jì)一種更好的辦法，使圍成的四邊形雞場面積更大，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)長方形雞場的寬AB=xm，則長BC=（40-2x）m，雞場的面積為ym²，根據(jù)長乘以寬等于面積列出函數(shù)關(guān)系式，配方可得最值情況；
（2）可充分利用籬笆后面的一堵墻來擴(kuò)展四邊形的面積作為切入點(diǎn)．

解答 解：（1）設(shè)長方形雞場的寬AB=xm，則長BC=（40-2x）m，雞場的面積為ym²，
根據(jù)題意，得：y=x（40-2x）=-2x²+40x=-2（x-10）²+200，
故當(dāng)x=10時，y取得最大值200，
答：當(dāng)長方形的長為20m，寬為10米時，養(yǎng)雞場的面積最大，最大面積為200m²；
（2）如果將圖1中的點(diǎn)A、D分別向外移動．

那么ABCD仍然是四邊形，而將四邊形沿墻反射過來，這樣就得到一個新的封閉六邊形BCDC′B′A，它的周長等于原籬笆長度的兩倍．
所以當(dāng)六邊形BCDC′B′A為正六邊形，
即AB=BC=CD，且∠BAD=∠CDA=60°，∠ABC=∠DCB=120°時，六邊形BCDC′B′A的面積最大．
因而其一半即四邊形ABCD的面積也最大．由于周長相等，
因此圖中正六邊形BCDC′B′A的面積大于（1）中長方形面積，
所以圖中四邊形ABCD的面積大于（1）中四邊形ABCD的面積．

點(diǎn)評 本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用能力，根據(jù)相等關(guān)系列函數(shù)關(guān)系式并求最大值是解題的根本，利用墻的長度來擴(kuò)展四邊形的面積是解題的關(guān)鍵．