Question

14．如圖，在半徑為r的⊙O中，E是劣弧AB的中點，C為優(yōu)弧AB上的一動點，連EC交AB于點F，EB=$\frac{r}{2}$．
（1）D為AB延長線上一點，若DC=DF，證明：直線DC與⊙O相切．
（2）證明：EF•EC為定值．

Answer 1

分析 （1）連接OC、OE，OE交AB于H，如圖1，由E是弧AB的中點，根據(jù)垂徑定理的推論得到OE⊥AB，則∠HEF+∠HFE=90°，由對頂角相等得∠HFE=∠CFD，則∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根據(jù)切線的判定定理得直線DC與⊙O相切；
（2）連接BC，由$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，根據(jù)圓周角定理得到∠ABE=∠BCE，證出△EBF∽△ECB，利用相似比得到EF•EC=$\frac{{r}^{2}}{4}$即可．

解答 （1）證明：連結(jié)OC、OE，OE交AB于H如圖1所示：
∵E是弧AB的中點，
∴OE⊥AB，
∴∠EHF=90°，
∴∠HEF+∠HFE=90°，
∵∠HFE=∠CFD，
∴∠HEF+∠CFD=90°，
∵DC=DF，
∴∠CFD=∠DCF，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，
∴OC⊥CD，
∴直線DC與⊙O相切；
（2）證明：連結(jié)BC，如圖2所示：
∵E是弧AB的中點，
∴$\widehat{AE}$=$\widehat{BE}$，
∴∠ABE=∠BCE，
∵∠FEB=∠BEC，
∴△EBF∽△ECB，
∴EF：BE=BE：EC，
∴EF•EC=BE²=（$\frac{r}{2}$）²=$\frac{{r}^{2}}{4}$；
即EF•EC為定值．

點評 本題考查了切線的判定、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂徑定理、圓周角定理等知識；熟練掌握垂徑定理及其推論、切線的判定定理和圓周角定理并利用相似三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．