Question

在平面直角坐標系中，如圖，點A的坐標是（2，0），點D在y軸的正半軸上，以線段AD為邊向外作正方形ABCD如圖所示，該正方形的中心M（3，3），那么點D的坐標為

 

，直線BC的解析式是

 

．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：連接MA、MD，過點M作ME⊥x軸于E，作MF⊥y軸于F，根據(jù)點M的坐標判斷出四邊形OEMF是正方形，然后求出ME=MF，再利用“HL”證明Rt△AEM和Rt△DFM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=AE，再根據(jù)點A的坐標求出OA，然后求出AE，再求出OD，寫出點D的坐標即可；
過點B作BG⊥x軸于G，求出∠ADO=∠BAG，然后利用“角角邊”證明△AOD和△BAG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AG=OD，BG=OA，從而寫出點B的坐標，過點C作CH⊥y軸于H，同理可得CH=OD，DH=OA，然后求出點C的坐標，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答即可．

解答：解：如圖，連接MA、MD，過點M作ME⊥x軸于E，作MF⊥y軸于F，
∵正方形ABCD的中心是M（3，3），
∴AM=DM，四邊形OEMF是正方形，
∴ME=MF=3，
在Rt△AEM和Rt△DFM中，

AM=DM ME=MF

，
∴Rt△AEM≌Rt△DFM（HL），
∴DF=AE，
∵A（2，0），
∴OA=2，
∴AE=OE-OA=3-2=1，
∴OD=OF+DF=OF+AE=3+1=4，
∴點D的坐標為（0，4）；

過點B作BG⊥x軸于G，
∵∠ADO+∠OAD=90°，∠BAG+∠OAD=90°，
∴∠ADO=∠BAG，
在△AOD和△BAG中，

∠ADO=∠BAG ∠AOD=∠BGA=90° AB=AD

，
∴△AOD≌△BAG（AAS），
∴AG=OD=4，BG=OA=2，
∴OG=OA+AG=2+4=6，
∴點B的坐標為（6，2），
過點C作CH⊥y軸于H，
同理可得CH=OD=4，DH=OA=2，
∴OH=OD+DH=4+2=6，
∴點C的坐標為（4，6），
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

6k+b=2 4k+b=6

，
解得

k=-2 b=14

，
∴設(shè)直線BC的解析式為y=-2x+14．
故答案為：（0，4）；y=-2x+14．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，難點在于作輔助線構(gòu)造出全等三角形以及以點O、M為頂點的正方形．