Question

如圖，在平面直角坐標系中，A、B是反比例函數(shù)（x＞0，m＞0）圖象上的兩個點，且點B的橫坐標為4，過A作AC⊥x軸于點C，過B作BD⊥y軸于點D，交AC于點E，連接AB，AD，DC，CB．已知S_△BDC=2，S_△ABD=8．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求點A的坐標；
（3）試判斷四邊形ADCB的形狀，并加以證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)B點縱坐標和△BDC的面積可求B點的橫坐標，從而求反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)△ABD的面積可求AE的長，從而得AC的縱坐標，代入解析式求橫坐標；
（3）根據(jù)線段的長度證明△DCE∽△BAE，從而得DC∥AB，證明四邊形ADCB為梯形．
解答：解：（1）由點B的橫坐標為4知，BD=4．
由，
可得CE=1，即點B的縱坐標為1，
∴B（4，1）．
將B（4，1）代入，得m=4，
∴反比例函數(shù)的解析式是；（3分）

（2）由，可得AE=4，
∴AC=AE+CE=4+1=5，
∴點A的縱坐標為5．
設(shè)點A的橫坐標為n，則由點A在反比例函數(shù)上，可得n=，
即點A的坐標為（，5）；

（3）由（1）（2）得，AE=4，CE=1，，．
∴，
又∠AEB=∠CED=90°，
∴△CED∽△AEB，
∴∠ABE=∠CDE，
∴AB∥CD．（10分）
又，，
顯然，AB＞CD．（12分）
∴四邊形ADCB是梯形．
點評：此題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、結(jié)合有關(guān)圖形的面積求相關(guān)點的坐標以及相似三角形的判定和性質(zhì)、梯形的定義等知識點，綜合性較強，但難度中等．