Question

如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，△ACP∽△PDB，
（1）請(qǐng)你說明CD²=AC•BD；
（2）求∠APB的度數(shù)．

Answer 1

（1）證明：∵△ACP∽△PDB，
∴AC：PD=PC：BD，
∴PD•PC=AC•BD，
∵△PCD是等邊三角形，
∴PC=CD=PD，
∴CD²=AC•BD；

（2）解：∵△ACP∽△PDB，
∴∠A=∠BPD，
∵△PCD是等邊三角形，
∴∠PCD=∠CPD=60°，
∴∠PCD=∠A+∠APC=60°，
∴∠APC+∠BPD=60°，
∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠BPD=120°．
分析：（1）由△ACP∽△PDB，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得AC：PD=PC：BD，又由△PCD是等邊三角形，即可證得CD²=AC•BD；
（2）由△ACP∽△PDB，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，可得∠A=∠BPD，又由△PCD是等邊三角形，即可求得∠APB的度數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的性質(zhì)與等邊三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．