Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，D為AC中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AE∥BC，連結(jié)BE，∠EBD=∠CBD，BD=5，則BE的長(zhǎng)為________.

Answer 1

【答案】

【解析】

連接ED并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，由AE//BC及點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，可證明△ADE≌△CDF，得AE=CF,DE=DF，結(jié)合∠EBD=∠CBD，可猜想BF=BE，則BE+AE=BC=8，在Rt△ABE中，由勾股定理構(gòu)造關(guān)于BE的方程解答即可.

如圖，連接ED并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D分別作DP⊥BE，垂足為P；作DQ⊥BC，垂足為Q,

在Rt△ABC中，∵D是斜邊AC的中點(diǎn)，

∴AD=CD=BD=5，AC=2BD=10，

∴，

∵AE//BC，

∴∠EAD=∠FCD，∠AED=∠CFD，

又∵AD=CD，

∴△ADE≌△CDF，

∴DE=DF，AE=CF，

又∵∠EBD=∠CBD， DP⊥BE， DQ⊥BC，

∴DP=DQ，

又∵BD=BD，DE=DF，

∴Rt△BDP≌Rt△BDQ（HL），Rt△PDE≌Rt△QDF（HL），

∴BP=BQ,PE=QF,

∴BF=BE，

∴BE+AE=BF+CF=BC=8,

設(shè)BE=x，則AE=8-x，

在Rt△ABE中，

由勾股定理得

得(8-x)2+62=x2，

解得x=,

即BE= .

故答案為：