Question

18．已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線AB分別與x、y軸交于點(diǎn)B、A，與反比例函數(shù)的$y=\frac{k}{x}$圖象分別交于點(diǎn)C、D，CE⊥x軸于點(diǎn)E，$tan∠ABO=\frac{1}{2}$，OB=4，OE=2．
（1）求該反比例函數(shù)的解析式；
（2）連結(jié)OC、OD，求△COD的面積；
（3）當(dāng)反比例函數(shù)的函數(shù)值大于一次函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，寫出自變量x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知條件求出C點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出反比例的函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)已知條件求出A、B點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出直線的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)的解析式可得交點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而根據(jù)三角形面積公式求解；
（3）根據(jù)函數(shù)的圖象和交點(diǎn)坐標(biāo)即可求得．

解答 解：（1）∵OB=4，OE=2，
∴BE=2+4=6．
∵CE⊥x軸于點(diǎn)E，tan∠ABO=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{1}{2}$．
∴CE=3．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，3）．
將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入，得3=$\frac{k}{-2}$，
∴k=-6．
∴該反比例函數(shù)的解析式為y=-$\frac{6}{x}$．
（2）在RT△AOB中，tan∠ABO=$\frac{AO}{BO}$=$\frac{1}{2}$．
∴OA=2，
∴A（0，2），
∵OB=4，
∴B（4，0），
設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，則$\left\{\begin{array}{l}{b=2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$．
故直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+2．
聯(lián)立反比例函數(shù)的解析式和直線AB的解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{6}{x}}\\{y=-\frac{1}{2}x+2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴C（-2，3），D（6，-1），
∴S_△COD=S_△BOC+S_△BOD=$\frac{1}{2}$×4×2+$\frac{1}{2}$×4×1=8；
（3）由圖象得，一次函數(shù)值小于反比例函數(shù)值的x的取值范圍：-2＜x＜0或x＞6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)，把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點(diǎn)，方程組無解，則兩者無交點(diǎn)．