Question

【題目】如圖，已知⊙O的弦AB等于半徑，連接OB并延長使BC=OB．

（1）∠ABC=　 　．

（2）AC與⊙O有什么關系？請證明你的結論；

（3）在⊙O上，是否存在點D，使得AD=AC？若存在，請畫出圖形，并給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）120°；（2）AC是⊙O的切線，證明見解析；（3）存在．證明見解析.

【解析】解：（１）１２０°；……………………………………………………………１分

（２）ＡＣ是⊙Ｏ的切線．……………………………………………………３分

證法一

∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＯＡ，∴△ＯＡＢ為等邊三角形，…………………………４分

∴∠ＯＢＡ＝∠ＡＯＢ＝６０°．……………………………………………５分

∵ＢＣ＝ＢＯ，∴ＢＣ＝ＢＡ，

∴∠Ｃ＝∠ＣＡＢ，……………………………………………………………６分

又∵∠ＯＢＡ＝∠Ｃ＋∠ＣＡＢ＝２∠Ｃ，

即２∠Ｃ＝６０°，∴∠Ｃ＝３０°，………………………………………７分

在△ＯＡＣ中，∵∠Ｏ＋∠Ｃ＝６０°＋３０°＝９０°，

∴∠ＯＡＣ＝９０°，…………………………………………………………８分

∴ＡＣ是⊙Ｏ的切線；

證法二：

∵ＢＣ＝ＯＢ，∴點Ｂ為邊ＯＣ的中點，……………………………………４分

即ＡＢ為△ＯＡＣ的中位線，…………………………………………………５分

∵ＡＢ＝ＯＢ＝ＢＣ，即ＡＢ是邊ＯＣ的一半，……………………………６分

∴△ＯＡＣ是以ＯＣ為斜邊的直角三角形，…………………………………７分

∴∠ＯＡＣ＝９０°，…………………………………………………………８分

∴ＡＣ是⊙Ｏ的切線；

（３）存在．……………………………………………………………………９分

方法一：

如圖２，延長ＢＯ交⊙Ｏ于點Ｄ，即為所求的點．…………………………１０分

證明如下：

連結ＡＤ，∵ＢＤ為直徑，∴∠ＤＡＢ＝９０°．…………………………１１分

在△ＣＡＯ和△ＤＡＢ中，

∵，∴△ＣＡＯ≌△ＤＡＢ（ＡＳＡ），………………１２分

∴ＡＣ＝ＡＤ．…………………………………………………………………１３分

（也可由ＯＣ＝ＢＤ，根據ＡＡＳ證明；或ＨＬ證得，或證△ＡＢＣ≌△ＡＯＤ）

方法二：

如圖３，畫∠ＡＯＤ＝１２０°，……………………………………………１０分

ＯＤ交⊙Ｏ于點Ｄ，即為所求的點．…………………………………………１１分

∵∠ＯＢＡ＝６０°，

∴∠ＡＢＣ＝１８０°－６０°＝１２０°．

在△ＡＯＤ和△ＡＢＣ中，

∵，∴△ＡＯＤ≌△ＡＢＣ（ＳＡＳ），………………１２分

∴ＡＤ＝ＡＣ．…………………………………………………………………１３分

（１）由已知可知△AOB為等邊三角形，利用平角求出∠ＡＢＣ的度數

（２）利用直角三角形的性質求出∠ＯＡＣ＝９０°，從而得出結論

（３）延長ＢＯ交⊙Ｏ于點Ｄ，即為所求的點，利用全等三角形求證