Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，正方形ABCD的邊長為4，點B在原點上，P是BC上一動點，QP⊥AP交DC于Q，設(shè)PB=x，△ADQ的面積為y．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
（2）（1）中函數(shù)若是一次函數(shù)，求出直線與兩坐標軸圍成的三角形面積，若是二次函數(shù)，請利用配方法求出拋物線的對稱軸和頂點坐標．
（3）點P是否存在這樣的位置，使△APB的面積是△ADQ的面積的，若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）畫出圖形，
設(shè)QC=z，由Rt△ABP∽Rt△PCQ，=，
z=，①
y=×4×（4-z），②
把①代入②y=x²-2x+8（0＜x＜4）．
（2）y=x²-2x+8=（x-2）²+6，
∴對稱軸為x=2，頂點坐標為（2，6）．

（3）如圖所示；
存在，由S_△APB=S_△ADQ，可得y=3x，
∴x²-2x+8=3x，
∴x=2，x=8（舍去），
∴當P為BC的中點（2，0）時，△PAB的面積等于△ADQ的面積的 ．
分析：（1）Rt△ADQ中，已知了直角邊AD的長，欲求其面積，需求得直角邊DQ的長；已知∠APQ=90°，顯然△ABP∽△PCQ，用x表示出BP、CP的長，根據(jù)相似三角形所得比例線段，即可求得CQ的表達式，可得到DQ的表達式，從而根據(jù)直角三角形的面積公式求出y、x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）由（1）可知，y、x的函數(shù)關(guān)系式是個二次函數(shù)，用配方法將其解析式化為頂點坐標式，即可求得拋物線的頂點坐標和對稱軸方程．
（3）可根據(jù)（1）所得拋物線的解析式，通過描點、連線畫出此拋物線的圖象．由于BP=x，易知△ABP的面積為2x，根據(jù)△ABP和△ADQ的面積關(guān)系，可得到關(guān)于x的方程，通過解方程可求得x的值即BP的長（注意x的值應(yīng)符合自變量的取值范圍），從而確定出點P在線段BC上的位置．
點評：本題考查的是幾何與代數(shù)的綜合應(yīng)用，同時也是一道探索性問題．在實際問題中，自變量的取值應(yīng)結(jié)合實際意義確定．