Question

如圖，已知AB，AC分別是⊙O的直徑和弦，點G為上一點，GE⊥AB，垂足為點E，交AC于點D，過點C的切線與AB的延長線交于點F，與EG的延長線交于點P，連接AG．

（1）求證：△PCD是等腰三角形；

（2）若點D為AC的中點，且∠F=30°，BF=2，求△PCD的周長和AG的長．

Answer 1

（1）證明：連結OC，如圖，

∵PC為⊙O的切線，

∴OC⊥PC，

∴∠OCP=90°，即∠1+∠PCD=90°，

∵GE⊥AB，

∴∠GEA=90°，

∴∠2+∠ADE=90°，

∵OA=OC，

∴∠1=∠2，

∴∠PCD=∠ADE，

而∠ADE=∠PDC，

∴∠PCD=∠PDC，

∴△PCD是等腰三角形；

（2）解：連結OD，BG，如圖，

在Rt△COF中，∠F=30°，BF=2，

∴OF=2OC，即OB+2=2OC，

而OB=OC，

∴OC=2，

∵∠FOC=90°﹣∠F=60°，

∴∠1=∠2=30°，

∴∠PCD=90°﹣∠1=60°，

∴△PCD為等邊三角形，

∵D為AC的中點，

∴OD⊥AC，

∴AD=CD，

在Rt△OCD中，OD=OC=1，

CD=OD=，

∴△PCD的周長為3；

在Rt△ADE中，AD=CD=，

∴DE=AD=，

AE=DE=，

∵AB為直徑，

∴∠AGB=90°，

而∠GAE=∠BAG，

∴Rt△AGE∽Rt△ABG，

∴AG：AB=AE：AG，

∴AG²=AE•AB=×4=6，

∴AG=6．