Question

6．如圖，點E、F分別是等邊△ABC中AC、AB邊上的中點，以AE為邊向外作等邊△ADE．
（1）求證：四邊形AFED是菱形；
（2）連接DC，若BC=10，求四邊形ABCD的面積．

Answer 1

分析 （1）由等邊三角形的性質(zhì)得出AF=EF=AE=DE=AD，由四邊相等的四邊形是菱形，即可得出結(jié)論；
（2）作AM⊥BC于M，由等邊三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)求出AM，在求出AD的長，證出四邊形ABCD是梯形，由梯形的面積公式即可得出結(jié)果．

解答 （1）證明：∵△ABC、△ADE是等邊三角形，
∴AF=EF=AE=DE=AD，∠ACB=∠DAE=60°，
∴四邊形AFED是菱形；
（2）解：作AM⊥BC于M，如圖所示：
∵△ABC是等邊三角形，
∴AC=BC=10，∠B=60°，
∴AM=AB•sin60°=10×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=5$\sqrt{3}$，
∵E是AC的中點，
∴AE=AD=$\frac{1}{2}$AC=5，
∵∠ACB=∠DAE=60°，
∴AD∥BC，
∴四邊形ABCD是梯形，
∴四邊形ABCD的面積=$\frac{1}{2}$（AD+BC）×AM=$\frac{1}{2}$（5+10）×5$\sqrt{3}$=$\frac{75\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查了菱形的判定、等邊三角形的性質(zhì)、平行線的判定、梯形的判定、三角函數(shù)等知識；熟練掌握菱形的判定方法，證明四邊形ABCD是梯形是解決問題（2）的關(guān)鍵．