Question

【題目】如圖，在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，點(diǎn)O為AD上一動(dòng)點(diǎn)（4＜OA＜8），以O為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑的圓交邊CD于點(diǎn)E，連接OE、AE，過(guò)點(diǎn)E作⊙O的切線交邊BC于F．

（1）求證：△ODE∽△ECF；

（2）在點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)DE= ：

①求的最大值，并求此時(shí)⊙O的半徑長(zhǎng)；

②判斷△CEF的周長(zhǎng)是否為定值，若是，求出△CEF的周長(zhǎng)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由？

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①5；②16.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)∠OEF=90°得出∠OED+∠CEF=90°，根據(jù)∠CEF+∠CFE=90°得出∠OED=∠EFC，最后根據(jù)∠D=∠C即可證出△ODE∽△ECF；

（2）①根據(jù)△ODE∽△ECF，得出ODCF=DEEC，設(shè)DE=x，得出ODCF=-（x-4）2+16，從而求出最大值，設(shè)此時(shí)半徑為r，根據(jù)OD2+DE2=OE2，得出（8-r）2+42=r2，解方程即可；

②在Rt△ODE中，根據(jù)OD2+DE2=OE2，OA=OE，得出（8-OE）2+x2=OE2，求出OE=4+，OD=4-，根據(jù)Rt△DOE∽Rt△CEF，得出，代入得出CF=，EF=，最后根據(jù)△CEF的周長(zhǎng)=CE+CF+EF代入計(jì)算即可得出△CEF的周長(zhǎng)=16，是定值．

試題解析：（1）證明：∵EF切⊙O于點(diǎn)M，

∴∠OEF=90°，

∴∠OED+∠CEF=90°，

∵∠C=90°，

∴∠CEF+∠CFE=90°，

∴∠OED=∠EFC，

∵∠D=∠C=90°，

∴△ODE∽△ECF；

（2）解：①由（1）知：△ODE∽△ECF，

∴，

∴ODCF=DEEC，

∵DE=x，

∴EC=8-x，

∴ODCF=x（8-x）=-x2+8x=-（x-4）2+16，

當(dāng)x=4時(shí)，ODCF的值最大，最大值為16，

設(shè)此時(shí)半徑為r，則OA=OE=r，OD=8-r，

在Rt△ODE中，

∵OD2+DE2=OE2，

∴（8-r）2+42=r2，

解得r=5，

即此時(shí)半徑長(zhǎng)為5；

②△CEF的周長(zhǎng)為定值，△CEF的周長(zhǎng)=16，

在Rt△ODE中，OD2+DE2=OE2，OA=OE，

即：（8-OE）2+x2=OE2，

∴OE=4+，OD=8-OE=4-，

∵Rt△DOE∽R(shí)t△CEF，

即，

∴，

解得：CF=，EF=，

∴△CEF的周長(zhǎng)=CE+CF+EF=8-x++=16．