Question

10．如圖，△ABC中，分別以AB、AC為邊向外作正△ABD、△ACE．試說明：
（1）CD=BE；
（2）求CD與BE所成的銳角的度數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根據(jù)SAS推出△DAC≌△BAE即可；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠BEA=∠ACD，求出∠BPC=∠ECP+∠PEC=∠ACE+∠AEC，即可求出CD與BE所成的銳角的度數(shù)．

解答 解：（1）∵以AB、AC為邊分別向外做等邊△ABD和等邊△ACE，
∴AD=AB，AE=AC，∠ACE=∠AEC=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAC=∠BAE}\\{AC=AE}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=BE；
（2）∵△DAC≌△BAE，
∴∠BEA=∠ACD，
∴∠BPC=∠ECP+∠PEC
=∠DCA+∠ACE+∠PEC
=∠BEA+∠ACE+∠PEC
=∠ACE+∠AEC
=60°+60°
=120°，
∴∠BPD=180°-∠BPC=60°，
即CD與BE所成的銳角的度數(shù)為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出△DAC≌△BAE，題目是一道比較好的題目，難度適中．