Question

已知直線l₁∥l₂，且l₃、l₄和l₁、l₂分別交于A、B和C、D兩點(diǎn)，（如圖）點(diǎn)P在AB上．設(shè)∠ADP=∠1，∠DPC=∠2，∠BCP=∠3
（1）探究∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系，下面給出推導(dǎo)過(guò)程請(qǐng)你填寫理由．
解：過(guò)點(diǎn)P作PE∥l₁
∵PE∥l₁（已作）
∴∠1=∠DPE（______）
∵PE∥l₁，l₁∥l₂（已知）
∴PE∥l₂（______）
∴∠3=∠EPC（______）
∵∠2=∠DPE+∠EPC
∴∠2=∠1+∠3（______）
（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，問(wèn)∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系是否發(fā)生變化？
（3）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，猜想∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系（點(diǎn)P和A、B不重合）．

Answer 1

解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥l₁
∵PE∥l₁（已作）
∴∠1=∠DPE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵PE∥l₁，l₁∥l₂（已知）
∴PE∥l₂（平行于同一條直線的兩直線平行）
∴∠3=∠EPC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵∠2=∠DPE+∠EPC
∴∠2=∠1+∠3（等量代換）

（2）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系不發(fā)生變化，仍是∠2=∠1+∠3．

（3）如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖，可猜想∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系是：∠1=∠2+∠3．

證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE∥l₁
∵PE∥l₁（已作）
∴∠1=∠DPE（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵PE∥l₁，l₁∥l₂（已知）
∴PE∥l₂（平行于同一條直線的兩直線平行）
∴∠3=∠EPC（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∵∠1=∠DPC+∠EPC
∴∠1=∠2+∠3（等量代換）．
當(dāng)P在A的上邊時(shí)，同理可得∠3=∠1+∠2．

分析：（1）根據(jù)提示，結(jié)合平行線的性質(zhì)，進(jìn)行填空；
（2）由（1）中的證明過(guò)程，可知∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系不發(fā)生變化；
（3）根據(jù)題意，畫出圖形，利用平行線的性質(zhì)可推出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查作輔助線構(gòu)造平行線，再利用平行線的性質(zhì)解題．