Question

如下圖，⊙O₁與⊙O₂相交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線CD∥O₁O₂，交⊙O₁于點(diǎn)C，交⊙O₂于點(diǎn)D．

求證：CD＝2O₁O₂．

Answer 1

答案：
解析：

證明：連結(jié)AB、BC、BD． 　　∵AB是⊙O1與⊙O1的公共弦， 　　∴AB⊥O1O2， 　　∵CD∥O1O2， 　　∴AB⊥CD于A，∴∠CAB＝90°． 　　∴BC是⊙O1的直徑． 　　∴O1是BC的中點(diǎn)． 　　同理可證O2是BD的中點(diǎn)． 　　∴CD＝2O1O2． 　　思路點(diǎn)撥：要證明CD＝2O1O2，由已知條件CD∥O1O2，若能以CD為邊造出一個(gè)三角形，使得O1O2成為這個(gè)三角形的中位線，那么本題便可獲得證明．考慮到點(diǎn)O1和點(diǎn)O2分別是兩圓圓心，連結(jié)BC、BD，如果能證得BC、BD分別是兩圓的直徑，即可說明點(diǎn)O1和點(diǎn)O2分別是BC、BD的中點(diǎn)，這樣解決問題的關(guān)鍵也就是要證明BC、BD分別是⊙O1與⊙O2的直徑，要證明圓的一條弦是圓的直徑，常用的方法是證明此弦所對的圓周角是直角，由此可聯(lián)想到“相交兩圓的連心線垂直平分公共弦”這一性質(zhì)，這樣就不難得出BC、BD是兩圓⊙O1與⊙O2的直徑這一結(jié)論． 　　評注：在兩圓相交時(shí)，一方面公共弦是常作的輔助線，因?yàn)橥ㄟ^公共弦可以把兩圓聯(lián)系起來，是溝通兩圓的一座橋梁，另一方面而且由于連心線垂直平分公共弦，又能構(gòu)造直角三角形，既能證明弦是直徑，又可解決有關(guān)計(jì)算問題．