Question

已知：如圖1，BD、CE分別是△ABC的外角平分線，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G，連接FG，延長(zhǎng)AF、AG，與直線BC相交，易證FG=

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2

（AB+AC+BC）．
若：（1）BD、CE分別是△ABC的內(nèi)角平分線（如圖2）；
（2）BD為△ABC的內(nèi)角平分線，CE為△ABC的外角平分線（如圖3），
則在圖2、圖3兩種情況下，線段FG與△ABC三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并對(duì)其中的一種情況給予證明．

Answer 1

分析：（1）都是內(nèi)角平分線時(shí)，可根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)來(lái)求解，由于DB平分∠ABC，且AF⊥BD，如果延長(zhǎng)AF交BC于K，那么三角形ABK就是個(gè)等腰三角形，AF=FK，如果延長(zhǎng)AG到H，那么同理可證AG=GH，AC=CH，那么GF就是三角形AHK的中位線，GF就是HK的一半，而HK=BK-BH=BK-（BC-CH），由于BK=AB，CH=AC，那么可得出FG=

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2

（AB+AC-BC）；
（2）證法同（1）先根據(jù)題目給出的求法，得出GD是AC的一半，然后按（2）的方法，通過(guò)延長(zhǎng)AF來(lái)得出DF是（BC-AB）的一半，由此可得出FG=

1

2

（BC+AC-AB）．

解答：解：（1）猜想結(jié)果：如圖結(jié)論為FG=

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2

（AB+AC-BC）
證明：分別延長(zhǎng)AG、AF交BC于H、K，
在△BAF和△BKF中，
∵

∠ABD=∠FBK BF=BF ∠BFA=∠BFK

，
∴△BAF≌△BKF（ASA），
∴AF=KF，AB=KB
同理可證，AG=HG，AC=HC
∴FG=

1

2

HK
又∵HK=BK-BH=AB+AC-BC
∴FG=

1

2

（AB+AC-BC）

（2）圖3的結(jié)論為FG=

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2

（BC+AC-AB）．
證明：分別延長(zhǎng)AG、AF交BC或延長(zhǎng)線于H、K
在△BAF和△BKF中，
∵

∠ABD=∠DBK BF=BF ∠BFA=∠BFK

，
∴△BAF≌△BKF（ASA），
∴AF=KF，AB=KB
同理可證，AG=HG，AC=HC，
∴FG=

1

2

KH
又∵KH=BC-BK+HC=BC+AC-AB．
∴FG=

1

2

（BC+AC-AB）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)．