Question

1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC=2，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到點B落在邊AC上，則邊AB在旋轉(zhuǎn)過程中，所掃過的區(qū)域面積是$\frac{11}{12}π$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 證明△BCD是等邊三角形，得出BD=BC=1，得出AD=BD，求出△ACD的面積，AB所掃過的區(qū)域面積=兩個扇形的面積+△ACD的面積，即可求得答案．

解答 解：如圖所示：
∵∠ACB=90°，AB=2BC=2，
∴∠A=30°，
∴∠B=90°-30°=60°，
又∵BC=CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴BD=BC=1，
∴AD=AB-BD=2-1=1，
∴AD=BD，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1×$\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴邊AB所掃過的圖形面積=$\frac{60×π×{1}^{2}}{360}$+$\frac{90×π×（\sqrt{3}）^{2}}{360}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{11}{12}π$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故答案為：$\frac{11}{12}π$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

點評 此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、扇形的面積公式、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積的計算等知識．此題有一定難度，根據(jù)題意畫出圖形，得出AB所掃過的圖形面積=兩個扇形的面積+△ACD的面積是解決問題的關鍵．