Question

20．如圖所示，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段ME、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 首先依據(jù)SAS證明△ADC≌△BEC，全等三角形的性質(zhì)可知∠CEB=∠CDA=135°，BE=AD，由∠AEB=∠CEB-∠CED可求得∠AEB的度數(shù)，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知DM=ME，即DE=2ME，最后依據(jù)AE=AD+DE可得到ME、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系．

解答 解：∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，
∴AC=BC，DC=CE，∠CDE=∠CED=45°．
∴∠ADC=135°．
∵∠ACD+∠DCB=90°，∠ECB+DCB=90°，
∴∠ACD=∠ECB．
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠ECB}\\{DC=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE．
∴∠CEB=∠CDA=135°，AD=BE．
∴∠AEB=∠CEB-∠CED=135°-45°=90°．
∵CD=CE，CM⊥AE，
∴DM=EM．
∴DE=2EM．
∵AD+DE=AE，
∴BE+2EM=AE．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是全等三角形的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、等腰三角形三線合一的性質(zhì)，證得△ACD≌△BCE，DE=2EM是解題的關(guān)鍵．