Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c的圖象交x軸于點(diǎn)A(x₀，0)和點(diǎn)B(2，0)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，其對稱軸是直線x＝－1，tan∠BAC＝2，點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D．

(1)確定A.C.D三點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求過B.C.D三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(3)若過點(diǎn)(0，3)且平行于x軸的直線與(2)小題中所求拋物線交于M.N兩點(diǎn)，以MN為一邊，拋物線上任意一點(diǎn)P(x，y)為頂點(diǎn)作平行四邊形，若平行四邊形的面積為S，寫出S關(guān)于P點(diǎn)縱坐標(biāo)y的函數(shù)解析式．

(4)當(dāng)＜x＜4時(shí)，(3)小題中平行四邊形的面積是否有最大值，若有，請求出，若無，請說明理由．

Answer 1

解：(1)∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線x＝－1對稱，點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2，0)

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(－4，0)               

由tan∠BAC＝2可得OC＝8

∴C(0，8)                            

∵點(diǎn)A關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為D

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是(4，0)                  

(2)設(shè)過三點(diǎn)的拋物線解析式為y＝a(x－2)(x－4)

代入點(diǎn)C(0，8)，解得a＝1             

∴拋物線的解析式是y＝x²－6x＋8      

(3)∵拋物線y＝x²－6x＋8與過點(diǎn)(0，3)平行于x軸的直線相交于M點(diǎn)和N點(diǎn)

∴M(1，3)，N(5，3)，＝4              

而拋物線的頂點(diǎn)為(3，－1)

當(dāng)y＞3時(shí)

S＝4(y－3)＝4y－12

當(dāng)－1≤y＜3時(shí)

S＝4(3－y)＝－4y＋12                     

(4)以MN為一邊，P(x，y)為頂點(diǎn)，且當(dāng)＜x＜4的平行四邊形面積最大，只要點(diǎn)P到MN的距離h最大

∴當(dāng)x＝3，y＝－1時(shí)，h＝4

S＝•h＝4×4＝16

∴滿足條件的平行四邊形面積有最大值16