Question

已知如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：
（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數(shù)量關(guān)系：

∠A+∠D=∠C+∠B

；
（2）仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：

6

個(gè)；
（3）在圖2中，若∠D=40°，∠B=36°，試求∠P的度數(shù)；

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）根據(jù)“8字形”的定義，仔細(xì)觀察圖形即可得出“8字形”共有6個(gè)；
（3）先根據(jù)“8字形”中的角的規(guī)律，可得∠DAP+∠D=∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B=∠PAB+∠P②，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，將①+②，可得2∠P=∠D+∠B，進(jìn)而求出∠P的度數(shù)．

解答：解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD=∠C+∠B+∠BOC=180°，∠AOD=∠BOC（對(duì)頂角相等），
∴∠A+∠D=∠C+∠B；

（2）①線段AB、CD相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；
②線段AN、CM相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；
③線段AB、CP相交于點(diǎn)N，形成“8字形”；
④線段AB、CM相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；
⑤線段AP、CD相交于點(diǎn)M，形成“8字形”；
⑥線段AN、CD相交于點(diǎn)O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6個(gè)；

（3）∠DAP+∠D=∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B=∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，
∴∠DAP=∠PAB，∠DCP=∠PCB，
由①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B=∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P=∠D+∠B，
又∠D=40°，∠B=36°，
∴2∠P=40°+36°=76°，
∴∠P=38°．
故答案是：（1）∠A+∠D=∠C+∠B；
（2）6．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義及閱讀理解與知識(shí)的遷移能力．（1）中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出“8字形”中的角的規(guī)律；（2）是考查學(xué)生的觀察理解能力，需從復(fù)雜的圖形中辨認(rèn)出“8字形”；（3）直接運(yùn)用“8字形”中的角的規(guī)律解題．