Question

如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O與邊AC交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D的直線交BC邊于點(diǎn)E，∠BDE=∠A．
（1）證明：DE是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑R=5，tanA=

3

4

，求線段CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：

分析：（1）首先連接OD，由∠BDE=∠A，易得∠ODA=∠BDE，又由AB為直徑，可得∠ADB=90°，繼而求得∠ODE=90°，則可證得：DE是⊙O的切線．
（2）在Rt△ABC中，可得tanA=

BC

AB

=

3

4

，則可求得BC的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得AC的長(zhǎng)，易證得△BCD∽△ACB，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得答案．

解答：（1）證明：連接OD．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠A．
又∵∠BDE=∠A，
∴∠ODA=∠BDE．
∵AB是⊙O直徑，
∴∠ADB=90°．
即∠ODA+∠ODB=90°．
∴∠BDE+∠ODB=90°．
∴∠ODE=90°．
∴DE是⊙O的切線．

（2）解：∵R=5，
∴AB=10．
在Rt△ABC中，
∵tanA=

BC

AB

=

3

4

，
∴BC=AB•tanA=10×

3

4

=

15

2

，
∴AC=

AB2+BC2

=

25

2

，
∵∠BDC=∠ABC=90°，∠BCD=∠ACB，
∴△BCD∽△ACB．
∴

CD

CB

=

CB

CA

，
∴CD=

CB2

CA

=

9

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的性質(zhì)與判定、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．