Question

）如圖①，在正方形ABCD中，P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，且PE=PB．

（1）求證：△BCP≌△DCP；

（2）求證：∠DPE=∠ABC；

（3）把正方形ABCD改為菱形，其它條件不變（如圖②），若∠ABC=58°，則∠DPE=　58　度．

Answer 1

考點(diǎn)：

正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．

專題：

證明題．

分析：

（1）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得BC=DC，對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠BCP=∠DCP，然后利用“邊角邊”證明即可；

（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠CBP=∠CDP，根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠CBP=∠E，然后求出∠DPE=∠DCE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠DCE=∠ABC，從而得證；

（3）根據(jù)（2）的結(jié)論解答．

解答：

（1）證明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，

∵在△BCP和△DCP中，

，

∴△BCP≌△DCP（SAS）；

（2）證明：由（1）知，△BCP≌△DCP，

∴∠CBP=∠CDP，

∵PE=PB，

∴∠CBP=∠E，

∴∠DPE=∠DCE，

∵∠1=∠2（對(duì)頂角相等），

∴180°﹣∠1﹣∠CDP=180°﹣∠2﹣∠E，

即∠DPE=∠DCE，

∵AB∥CD，

∴∠DCE=∠ABC，

∴∠DPE=∠ABC；

（3）解：與（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，

∵∠ABC=58°，

∴∠DPE=58°．

故答案為：58．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)確定出∠BCP=∠DCP是解題的關(guān)鍵．