Question

15．在平面直角坐標(biāo)系中，以D（-4，$\sqrt{7}$）為圓心的⊙D與y軸相切于點(diǎn)Q，與x軸交于A、B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)B坐標(biāo)為（-1，0）．以CD為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線與⊙D交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C坐標(biāo)為（-4，9）．CD與x軸交于點(diǎn)H
（1）求拋物線和直線AC的解析式；
（2）P為直線AC上方拋物線上一點(diǎn)，當(dāng)S_△APC=$\frac{2}{9}{S_△}$AHC時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)
；
（3）PM⊥AC于點(diǎn)M，PE⊥x軸于點(diǎn)E且與AC交于點(diǎn)N，△PMN的周長(zhǎng)為l，求l的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）²+9．將B（-1，0）代入求得a的值即可；由拋物線的對(duì)稱(chēng)性求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b，將A（-7，0）、C（-4，9）代入求解即可；
（2）由題意可求得S_△APC=3．設(shè)p（a，-a²-8a-7），N（a，3a+21）．則PN=-a²-8a-7-（3a+21）=-a²-11a-28，由三角形的面積公式列出關(guān)于a的方程，然后解得a的值可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）利用配方法可求得PN的最大值為$\frac{9}{4}$，然后證明△PMN∽△CHA，得到PM：MN：PN=1：3：$\sqrt{10}$，從而可求得l的最大值．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+4）²+9．
∵將B（-1，0）代入得：9a+9=0，解得；a=-1，
∴解析式為y=-（x+4）²+9，即y=-x²-8x-7．
∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x=-4對(duì)稱(chēng)，B（-1，0）
∴A（-7，0）．
設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b．
∵將A（-7，0）、C（-4，9）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-7k+b=0}\\{-4k+b=9}\end{array}\right.$，解得：k=3，b=21，
∴直線AC的解析式為y=3x+21．
（2）∵AH=3，CH=9，
∴S_△AHC=$\frac{1}{2}×3×9$=$\frac{27}{2}$．
∵S_△APC=$\frac{2}{9}{S_△}$AHC，
∴S_△APC=$\frac{2}{9}$×$\frac{27}{2}$=3．
設(shè)p（a，-a²-8a-7），N（a，3a+21）．則PN=-a²-8a-7-（3a+21）=-a²-11a-28．
∵S_△APC=$\frac{1}{2}$PN•AH=3，
∴$\frac{1}{2}$×（-a²-11a-28）×3=3，解得：a₁=-5，a₂=-6．
∴點(diǎn)P（-5，8）或（-6，5）
（3）∵由（2）可知PN=-a²-11a-28=-（a+$\frac{11}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∴PN的最大值為$\frac{9}{4}$．
∵EN∥CH，
∴∠ACH=∠ANE．
∵∠PNM=∠ENA，
∴∠PNM=∠ACH．
又∵∠PMN=∠AHC=90°，
∴△PMN∽△CHA．
∴PM：MN：PN=CH：HA：CA=1：3：$\sqrt{10}$．
∴l(xiāng)=PN×$\frac{1+3+\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$=$\frac{9}{4}$×$\frac{4+\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$=$\frac{18\sqrt{10}+45}{20}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)、一次函數(shù)的解析式、相似三角形的性質(zhì)和判定、三角形的面積公式，配方法求二次函數(shù)的最值，得到PN與點(diǎn)P的橫坐標(biāo)a的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．